Đáp án:
$D.\ V_{S.ACD} = \dfrac{a^3\sqrt3}{6}$
Giải thích các bước giải:
Gọi $H$ là trung điểm $AB$
$\Rightarrow \begin{cases}SH\perp AB\\SH = \dfrac{AB\sqrt3}{2}\end{cases}$ (đường cao trong tam giác đều)
Ta có:
$\begin{cases}(SAB)\perp (ABCD)\\(SAB)\cap (ABCD)= AB\\SH\perp AB\\SH\subset (SAB)\end{cases}$
$\Rightarrow SH\perp (ABCD)$
$\Rightarrow \widehat{(SC;(ABCD))}=\widehat{SCH}= \alpha$
$\Rightarrow \tan\alpha = \dfrac{SH}{HC}$
$\Rightarrow \dfrac{\sqrt{15}}{5} = \dfrac{\dfrac{AB\sqrt3}{2}}{\sqrt{\dfrac{AB^2}{4} + a^2}}$
$\Rightarrow \dfrac{\sqrt5}{5} = \dfrac{AB}{\sqrt{AB^2 + 4a^2}}$
$\Rightarrow \dfrac15 = \dfrac{AB^2}{AB^2 + 4a^2}$
$\Rightarrow AB = a$
$\Rightarrow SH = \dfrac{a\sqrt2}{2}$
Kẻ $CM\perp AD$
$\Rightarrow ABCM$ là hình vuông
$\Rightarrow CM = AB = a$
$\Rightarrow S_{ACD}=\dfrac12CM.AD =\dfrac12\cdot a\cdot 2a = a^2$
Ta được:
$V_{S.ACD}=\dfrac13S_{ACD}.SH = \dfrac13\cdot a^2\cdot \dfrac{a\sqrt3}{2} = \dfrac{a^3\sqrt3}{6}$
