Đáp án:
$\displaystyle\iiint\limits_Vxdxdydz=\dfrac43$
Giải thích các bước giải:
$\quad I =\displaystyle\iiint\limits_Vxdxdydz$
$\begin{cases}x = 0\\y = 0\\z = 0\\x + y + z = 2\end{cases}$
Hình chiếu của $V$ xuống $Oxy$ là miền:
$D =\{(x,y): 0 \leqslant x \leqslant 2; 0 \leqslant y\leqslant 2 - x\}$
Giới hạn trên: $z = 2 - x - y$
Giới hạn dưới: $z = 0$
Ta được:
$\quad I =\displaystyle\int\limits_0^2dx\displaystyle\int\limits_0^{2 - x}dy\displaystyle\int\limits_0^{2 - x - y}xdz$
$\Leftrightarrow I =\displaystyle\int\limits_0^2dx\displaystyle\int\limits_0^{2 - x}\left(xz\Bigg|_0^{2-x-y}\right)dy$
$\Leftrightarrow I =\displaystyle\int\limits_0^2dx\displaystyle\int\limits_0^{2 - x}(2x - x^2 - xy)dy$
$\Leftrightarrow I =\displaystyle\int\limits_0^2\left[\left(2xy - x^2y - \dfrac{xy^2}{2}\right)\Bigg|_0^{2-x}\right]dx$
$\Leftrightarrow I =\displaystyle\int\limits_0^2\left(\dfrac{x^3}{2} -2x^2 + 2x\right)dx$
$\Leftrightarrow I = \left(\dfrac{x^4}{6} - \dfrac{2x^3}{3} + x^2\right)\Bigg|_0^2$
$\Leftrightarrow I = \dfrac43$
