Đáp án:
\(\displaystyle\iint\limits_D(xy^2 - 2)dxdy= -\dfrac{49}{30}\)
Giải thích các bước giải:
Phương trình hoành độ giao điểm:
$x = 2- x \Leftrightarrow x = 1$
Do đó miền $D$ được biểu diễn:
$D = \{(x,y): 0 \leqslant x \leqslant 1;\ x \leqslant y \leqslant 2 - x\}$
Ta được:
\(\begin{array}{l}
\quad I = \displaystyle\iint\limits_D(xy^2 - 2)dxdy\\
\Leftrightarrow I = \displaystyle\int\limits_0^1dx\displaystyle\int\limits_x^{2-x}(xy^2 - 2)dy\\
\Leftrightarrow I = \displaystyle\int\limits_0^1\left[\left(\dfrac{xy^3}{3} - 2y \right)\Bigg|_x^{2-x} \right]dx\\
\Leftrightarrow I = \displaystyle\int\limits_0^1\left(-\dfrac23x^4 + 2x^3 - 4x^2 + \dfrac{20}{3}x - 4\right)dx\\
\Leftrightarrow I = \left(-\dfrac{2}{15}x^5 + \dfrac12x^4 - \dfrac43x^3 + \dfrac{10}{3}x^2 - 4x \right)\Bigg|_0^1\\
\Leftrightarrow I = - \dfrac{49}{30}
\end{array}\)
