Giải thích các bước giải:
a,
Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:
\(\begin{array}{l}
\Delta > 0\\
\Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^2} - 4.1.\left( {2m - 3} \right) > 0\\
\Leftrightarrow \left( {{m^2} - 2m + 1} \right) - \left( {8m - 12} \right) > 0\\
\Leftrightarrow {m^2} - 2m + 1 - 8m + 12 > 0\\
\Leftrightarrow {m^2} - 10m + 13 > 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m > 5 + 2\sqrt 3 \\
m < 5 - 2\sqrt 3
\end{array} \right.
\end{array}\)
b,
Với điều kiện trên, áp dụng định lí Vi - et, phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn: \(\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = - \left( {m - 1} \right)\\
{x_1}{x_2} = 2m - 3
\end{array} \right.\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}
A = {x_1}^2 + {x_2}^2\\
= \left( {{x_1}^2 + 2.{x_1}.{x_2} + {x_2}^2} \right) - 2.{x_1}{x_2}\\
= {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2}\\
= {\left[ { - \left( {m - 1} \right)} \right]^2} - 2.\left( {2m - 3} \right)\\
= \left( {{m^2} - 2m + 1} \right) - 4m + 6\\
= {m^2} - 6m + 7
\end{array}\)
c,
Phương trình đã cho có 1 nghiệm \(x = 1\) nên thay \(x = 1\) vào phương trình đã cho ta được:
\(\begin{array}{l}
{1^2} + \left( {m - 1} \right).1 + 2m - 3 = 0\\
\Leftrightarrow 3m - 3 = 0\\
\Leftrightarrow m = 1
\end{array}\)
Thay \(m = 1\) vào phương trình đã cho ta được:
\(\begin{array}{l}
{x^2} + \left( {1 - 1} \right)x + 2.1 - 3 = 0\\
\Leftrightarrow {x^2} - 1 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1\\
x = - 1
\end{array} \right.
\end{array}\)
Vậy nghiệm còn lại của phương trình đã cho là \(x = - 1\)
