Đáp án: $ x = 0; x = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} $
Giải thích các bước giải:
ĐKXĐ $: x + 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ - 1$
$ \sqrt[3]{2x + 1} - 3 \neq 0 ⇔ x\neq 13$
Kết hợp lại $: - 1 ≤ x < 13; x > 13 (1)$
$PT ⇔ (x + 2)\sqrt{x + 1} - 2(x + 2) = \sqrt[3]{2x + 1} - 3$
$ ⇔ (x + 1)\sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 1} = (2x + 1) + \sqrt[3]{2x + 1} $
$ ⇔ (\sqrt{x + 1})³ + \sqrt{x + 1} = (\sqrt[3]{2x + 1})³ + \sqrt[3]{2x + 1}(*)$
Xét hàm số $:f(t) = t³ + t $ khả vi với $∀t ∈ R$
$ f'(t) = 3t² + 1 > 0 ⇒ f(t) $ đồng biến với $∀t ∈ R$
$ ⇒ f(t_{1}) ≤ f(t_{2}) ⇔ t_{1} ≤ t_{2}$
Đặt $: t_{1} = \sqrt{x + 1}; t_{2} = \sqrt[3]{2x + 1}$
Từ $(*) ⇒ f(t_{1}) = f(t_{2}) ⇒ t_{1} = t_{2}$
$ ⇔ \sqrt{x + 1} = \sqrt[3]{2x + 1}$
$ ⇔ (x + 1)³ = (2x + 1)² (2x + 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ - \dfrac{1}{2})$
$ ⇔ x³ + 3x² + 3x + 1 = 4x² + 4x + 1$
$ ⇔ x³ - x² - x = 0 ⇔ x(x² - x - 1) = 0$
$ ⇒ x = 0; x = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} (TM (1); (2))$
( loại nghiệm $: x = \dfrac{1 - \sqrt{5}}{2} < - \dfrac{1}{2}$ ko TM $(2))$
