Bài 1.

Với mọi `x;y` ta có:

`\qquad (x-y)^2\ge 0`

`=>x^2-2xy+y^2\ge 0`

`=>x^2+y^2\ge 2xy`

`=>x^2+y^2+x^2+y^2\ge x^2+y^2+2xy`

`=>2(x^2+y^2)\ge (x+y)^2` (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi `(x-y)^2=0<=>x=y` (dựa vào dòng bất đẳng thức đầu)

$\\$

Với `x=y=3`

`VT=2(x^2+y^2)=2.(3^2+3^2)=2.18=36`

`VP=(x+y)^2=(3+3)^2=36`

`=>VT=VP` (thỏa mãn)

_______________________

Bài 2.

+) Ý nghĩa của hoành độ, tung độ: 

Điểm có hoành độ `a` thì cách `Oy` một khoảng `|a|`; nếu điểm đó nằm bên trái trục `Oy` thì có `a<0`; bên phải trục `Oy` thì có `a>0`

$\\$

Điểm có tung độ `b` thì cách `Ox` một khoảng `|b|`, nếu điểm đó nằm bên dưới trục `Ox` thì có `b<0`; bên trên trục `Ox` thì có `b>0`

________

+) Gọi `A(a;1);B(a;2)` là hai điểm thuộc đường thẳng `x=a`

`=>A` và `B` đều cách trục `Oy` một khoảng bằng `|a|`

`=>AB`//$Oy$

`=>` Đường thẳng `x=a` song song với `Oy`

$\\$

+) Gọi `C(2;b); D(3;b)` là hai điểm thuộc đường thẳng `y=b`

`=>C` và `D` đều cách trục `Ox` một khoảng bằng `|b|`

`=>CD`//$Ox$

`=>` Đường thẳng `y=b` song song với `Ox`

$\\$

+) Vì những điểm thuộc trục tung `Oy` sẽ có khoảng cách đến `Oy` bằng `0` 

`=>` Các điểm đó có hoành độ `x=0`

`=>` Đường thẳng `x=0` chính là trục tung `Oy`

$\\$

+) Vì những điểm thuộc trục hoành `Ox` sẽ có khoảng cách đến `Ox` bằng `0`

`=>` Các điểm đó có tung độ `y=0`

`=>` Đường thẳng `y=0` chính là trục hoành `Ox`

$\\$

+) Định nghĩa hàm số:

Nếu ` y` phụ thuộc `x` thay đổi sao cho với mỗi giá trị của `x` ta luôn xác định chỉ một giá trị tương ứng của `y` thì `y` được gọi là hàm số của `x` và `x` là biến số.

$\\$ 

+) Hàm hằng là hàm số sao cho với mọi giá trị đầu vào của `x` thì giá trị đầu ra của `y` không thay đổi

$\\$

Cho nên:

+) `y=0` là hàm hằng `=>y=0` cũng là hàm số

Đặt: `y=f(x)=0`

Ta có:

`x=0=>y=f(0)=0`

`x=1=>y=f(1)=0`

.......

Với mọi giá trị của `x` luôn xác định được `1` giá trị của `y` là `0`

$\\$

+) `x=0` là hàm hằng `=>x=0` cũng là hàm số

Đặt `x=f(y)=0`

Với mọi giá trị của `y` luôn xác định được `1` giá trị của `x` là `0`

Câu 1:

BĐT Bunhiacopxki cho hai bộ số $(1;1)$ và $(x;y)$:

$(1^2+1^2)(x^2+y^2)\ge (x+y)^2$

hay $2(x^2+y^2)\ge (x+y)^2$

Dấu $=$ xảy ra khi $\dfrac{x}{1}=\dfrac{y}{1}$ hay $x=y$

(khi thay $y=x$: $2(x^2+x^2)=(x+x)^2=4x^2$, đúng. Do đó đúng với cả $x=3$)

* Tổng quát Bunhiacopxki $n$ số: cho hai bộ số $(a_1; a_2;...; a_n)$ và $(b_1; b_2;...;b_n)$. Ta có:

$\left(\sum\limits_{i=0}^na_i^2\right)\left(\sum\limits_{i=0}^nb_i^2\right) \ge \left( \sum\limits_{i=0}^na_ib_i\right)^2$

Dấu $=$ xảy ra khi $\dfrac{a_1}{b_1}=\dfrac{a_2}{b_2}=...=\dfrac{a_i}{b_i}$

Câu 2:

$x=a$: tập hợp tất cả các điểm có hoành độ $a$, tung độ tuỳ ý, tức là đường thẳng vuông góc với $Ox$ tại điểm $x=a$. Mà $Ox\bot Oy$ nên $x=a// Oy$

$y=b$: tập hợp tất cả các điểm có tung độ $b$, hoành độ tuỳ ý, tức là đường thẳng vuông góc với $Oy$ tại điểm $y=$. Mà $Ox\bot Oy$ nên $y=b// Ox$

Hàm số: quy tắc mà với mỗi giá trị của $x$ xác định (thoả mãn ĐKXĐ hàm số) xác định tương ứng chỉ một giá trị $y$ tương ứng

+ $y=0$ là hàm số do với mỗi giá trị $x$ (như $x=1; x=2; x=2021;...$) đều xác định được duy nhất một giá trị $y$ tương ứng (định nghĩa không nói $f(1), f(2), f(2021)$ phải khác nhau)

+ $x=0$: không phải hàm số do khi thay $x=0$ vào thì $y$ nhận giá trị tuỳ ý thuộc $\mathbb{R}$