Bài 1: Cho a,b,c>0 thỏa mãn : a+b+c=3. Chứng minh rằng: $\dfrac{a^2}{a+b^2}$+ $\dfrac{b^2}{b+c^2}$+ $\dfrac{c^2}{c+a^2}$ ≥ $\dfrac{3}{2}$ Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức với x ≥ 0 ; x ≤ $\dfrac{4}{3}$ A= 4x3 - 3x2 Bài 3: Cho a,b,c

duchuan

6 năm trước

Bài 1: Cho a,b,c>0 thỏa mãn : a+b+c=3.

Chứng minh rằng: $\dfrac{a^2}{a+b^2}$ + $\dfrac{b^2}{b+c^2}$ + $\dfrac{c^2}{c+a^2}$ ≥ $\dfrac{3}{2}$

Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức với x ≥ 0 ; x ≤ $\dfrac{4}{3}$

A= 4x3 - 3x2

Bài 3: Cho a,b,c > 0. Chứng minh rằng:

3( ab + bc + ca ) ≤ ( a+ b + c )2

Loga Toán lớp 10

0 lượt thích 326 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

trung00

Ta có $\dfrac{a^2}{a+b^2}=a-\dfrac{ab^2}{a+b^2}\ge a-\dfrac{ab^2}{2b\sqrt{a}}=a-\dfrac{ab}{2\sqrt{a}}$

Thiết lập tương tự và thu lại ta có :

$VT\ge3-\left(\dfrac{ab}{2\sqrt{a}}+\dfrac{bc}{2\sqrt{b}}+\dfrac{ac}{2\sqrt{c}}\right)$

Xét $\dfrac{ab}{2\sqrt{a}}+\dfrac{bc}{2\sqrt{b}}+\dfrac{ac}{2\sqrt{c}}=\sqrt{\dfrac{a^2b^2}{4a}}+\sqrt{\dfrac{b^2c^2}{4b}}+\sqrt{\dfrac{a^2c^2}{4c}}$

Áp dụng bđt Cauchy ta có $\sqrt{\dfrac{a^2b^2}{4a}}=\sqrt{\dfrac{ab}{2a}.\dfrac{ab}{2}}\le\dfrac{\dfrac{b}{2}+\dfrac{ab}{2}}{2}$

Thiết lập tương tự và thu lại ta có :

$\dfrac{ab}{2\sqrt{a}}+\dfrac{bc}{2\sqrt{b}}+\dfrac{ac}{2\sqrt{c}}\le\dfrac{\dfrac{a+b+c}{2}+\dfrac{ab+bc+ac}{2}}{2}=\dfrac{\dfrac{3}{2}+\dfrac{ab+bc+ac}{2}}{2}\left(1\right)$

Theo hệ quả của bđt Cauchy ta có $\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ac\right)$

$\Rightarrow ab+bc+ac\le\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=3$

$\Rightarrow\dfrac{\dfrac{3}{2}+\dfrac{ab+bc+ac}{2}}{2}\le\dfrac{\dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{2}}{2}=\dfrac{3}{2}\left(2\right)$

Từ ( 1 ) và ( 2 ) ta có $\dfrac{ab}{2\sqrt{a}}+\dfrac{bc}{2\sqrt{b}}+\dfrac{ac}{2\sqrt{c}}\le\dfrac{3}{2}$

$\Rightarrow3-\left(\dfrac{ab}{2\sqrt{a}}+\dfrac{bc}{2\sqrt{b}}+\dfrac{ac}{2\sqrt{c}}\right)\ge3-\dfrac{3}{2}=\dfrac{3}{2}$

$\Rightarrow VT\ge\dfrac{3}{2}\left(đpcm\right)$

Dấu '' = '' xảy ra khi $a=b=c=1$

Vote (0) Phản hồi (0) 6 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Cho 3 số dương a,b,c tm: a+b+c+ab+ca+bc=6abc

CMR: $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge\frac{1}{3}$

@Lightning Farron

Cho a,b,c là số dương thỏa mãn a+b+c=3. CMR

a/ $\dfrac{a}{\sqrt{b+1}}+\dfrac{b}{\sqrt{c+1}}+\dfrac{c}{\sqrt{a+1}}\ge\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$

b/ $\sqrt{\dfrac{a^3}{b+3}}+\sqrt{\dfrac{b^3}{c+3}}+\sqrt{\dfrac{c^3}{a+3}}\ge\dfrac{3}{2}$

gpt $\sqrt{2-x}+\sqrt[3]{2x^2+6x+3}=-2$

Chứng minh các BĐT sau:

a. $9\left(\dfrac{1}{a+2b}+\dfrac{2}{b+2c}+\dfrac{3}{c+2a}\right)\le\dfrac{7}{a}+\dfrac{4}{b}+\dfrac{7}{c}$

b. $\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{3}{c}\ge\dfrac{3}{a+b}+\dfrac{18}{3b+4c}+\dfrac{9}{c+6a}$

c. $\dfrac{b+c}{a}+\dfrac{2a+c}{b}+\dfrac{4\left(a+b\right)}{a+c}\ge9$

Cho a,b,c dương sao cho $a^2+b^2+c^2=3$ . Chứng minh rằng

a/ $\dfrac{a^3b^3}{c}+\dfrac{b^3c^3}{a}+\dfrac{c^3a^3}{b}\ge3abc$

b/ $\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ca}{b}\ge3$

Giải các phương trình sau

a/ $\sqrt[3]{1+\sqrt{x}}+\sqrt[3]{1-\sqrt{x}}=2$

b/ $\sqrt[3]{5x+7}-\sqrt[3]{5x-13}=1$

c/ $\sqrt{3x^2+5x+8}-\sqrt{3x^2+5x+1}=1$

1)Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: $\left\{{}\begin{matrix}x+y+z=15\\x^3+y^3+z^3=495\end{matrix}\right.$

2) Cho a,b,c là 3 số thực không âm, tìm GTLN của biểu thức:

$M=\left(a+b+c\right)^3+a\left(2bc-1\right)+b\left(2ac-1\right)+c\left(2ab-1\right)$

3) Giải phương trình: $\sqrt{x-\sqrt{x^2-1}}=\dfrac{9\sqrt{2}}{4}\left(x-1\right)\sqrt{x-1}$

4) Cho $x^2+y^2+z^2=k\left(\forall k>0\right)$ cho trước.

Tìm GTLN của $A=k\left(xy+yz+xz\right)+\dfrac{1}{2}\left[x^2\left(y-z\right)^2+y^2\left(x-z\right)^2+z^2\left(x-y\right)^2\right]$

5) Chứng minh rằng:

$\left(3a+2b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\le\dfrac{45}{2}$ (Bài này quên điều kiện hay gì đó rồi, ae nếu thấy sai thì fix giùm)

6) Cho a là số thay đổi thỏa mãn: $-1\le a\le1$

Tìm GTLN của b sao cho bđt sau đúng:

$2\sqrt{1-a^4}+\left(b-1\right)\left(\sqrt{1+a^2}-\sqrt{1-a^2}\right)+b-4\le0$

7) Cho a,b,c dương thỏa mãn $abc=1$ . Chứng minh rằng:

$\sum\dfrac{a}{\sqrt{8b^3+1}}\ge1$

8) Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

$\sum\dfrac{a^2-b^2}{\sqrt{b+c}}\ge0$

Tìm tất cả số nguyên p sao cho $2x^2-(p-1)x+p+2018=0$ có tất cả là nghiệm nguyên

Cho phương trình sau với p là tham số:

$3x^2-(2p-1)x+p^2-6p+11=0$

Tìm p để phương trình có ít nhất một nghiệm nguyên

Tính nhanh
$892^2+892.216+108^2$
$10,2.9,8-9,8.0,2+10,2^2-10,2.0,2$
$36^2+26^2-52.36$