Đáp án: a.$\frac{1}{4}$
b.$505.2^{2019}$
Giải thích các bước giải:
Bài 1:Trong mặt phẳng (ABCD), gọi O là giao điểm của AC và BD
Gọi Q là trung điểm AD
Trong mặt phẳng (SBD), gọi I là giao điểm của SO và MN
Trong mặt phẳng (SPQ), PI cắt SQ tại J
Trong mặt phẳng (SAD), NJ cắt SA tại E
Vì MN//BD(MN là đường trung bình)
Mà I thuộc MN
⇒$\frac{SI}{SO}=\frac{SM}{SB}=\frac{1}{2}$
Áp dụng định luật menelauyt trong tam giác SQO
$\frac{SJ}{JQ}.\frac{QP}{PO}.\frac{OI}{IS}=1\Rightarrow \frac{SJ}{JQ}=\frac{1}{2}$
P,Q là lần lượt là trung điểm BC và AD
⇒AQPB là hình bình hành
Xét trong chóp S.ABPQ có đáy là hình bình hành, mặt phẳng (MNP) cắt các cạnh bên SA,SB,SP,SQ lần lượt lại E,M,P,J ta có:
$\frac{SP}{SP}+\frac{SA}{SE}=\frac{SB}{SM}+\frac{SQ}{SJ}\Rightarrow \frac{SE}{SA}=\frac{1}{4}$
Bài 2:
$(k+1)C_{n}^{k}=k.C_{n}^{k}+C_{n}^{k}=C_{n}^{k}+k.\frac{n!}{(n-k)!.k!}=C_{n}^{k}+\frac{n.(n-1)!}{(n-k)!(k-1)!}=C_{n}^{k}+n.C_{n-1}^{k-1}\\
C_{2018}^{0}=C_{2018}^{0}\\
2.C_{2018}^{1}=C_{2018}^{1}+2018.C_{2017}^{0}\\
3.C_{2018}^{2}=C_{2018}^{2}+2018.C_{2017}^{1}\\
....\\
3.C_{2018}^{2018}=C_{2018}^{2018}+2018.C_{2017}^{2017}\\
\Rightarrow S=(C_{2018}^{0}+C_{2018}^{1}+C_{2018}^{2}+...+C_{2018}^{2018})+2018.(C_{2017}^{0}+C_{2017}^{1}+...+C_{2017}^{2017})=2^{2018}+2018.2^{2017}=505.2^{2019}$
