a) ΔABC cân tại A ⇒ AB = AC; ∠ABC = ∠ACB
Vì ∠ABD là góc ngoài của ΔABC
⇒ ∠ABD = ∠BAC + ∠ACB (1)
Vì ∠ACE là góc ngoài của ΔABC
⇒ ∠ACE = ∠BAC + ∠ABC (2)
Từ (1) và (2) ⇒ ∠ABD = ∠ACE
Xét ΔABD và ΔACE có:
AB = AC (cmt)
∠ABD = ∠ACE (cmt)
BD = CE (gt)
⇒ ΔABD = ΔACE (c.g.c)
⇒ AD = AE (2 cạnh tương ứng)
⇒ ΔADE cân tại A
b) ΔADE cân tại A ⇒ ∠D = ∠E
Xét ΔBDH và ΔCEK có:
∠BHD = ∠CKE = $90^{o}$
BD = CE (gt)
∠D = ∠E (cmt)
⇒ ΔBDH = ΔCEK (cạnh huyền-góc nhọn)
⇒ BH = CK (2 cạnh tương ứng)
DH = EK (2 cạnh tương ứng)
mà AD = AE ⇒ AD - DH = AE - EK
⇒ AH = AK ⇒ ΔAHK cân tại A
Có: ∠D + ∠E + ∠DAE = $180^{o}$
⇒ 2 . ∠D + ∠DAE = $180^{o}$
⇒ ∠D = $\frac{180^{o}-∠DAE}{2}$ (3)
Có: ∠AHK + ∠AKH + ∠HAK = $180^{o}$
⇒ 2 . ∠AHK + ∠HAK = $180^{o}$
⇒ ∠AHK = $\frac{180^{o}-∠HAK}{2}$ (4)
Từ (3) và (4) ⇒ ∠D = ∠AHK
Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị ⇒ HK // BC
c) Ta có: ΔBDH = ΔCEK (theo b)
⇒ ∠DBH = ∠ECK (2 góc tương ứng)
Mà ∠DBH = ∠OBC (2 góc đối đỉnh)
∠ECK = ∠OCB (2 góc đối đỉnh)
⇒ ∠OBC = ∠OCB
⇒ ΔOBC cân tại O
d) Xét ΔAMB và ΔAMC có:
AB = AC (theo a)
AM: cạnh chung
MB = MC (M là trung điểm của BC)
⇒ ΔAMB = ΔAMC (c.c.c)
⇒ ∠BAM = ∠CAM (2 góc tương ứng)
⇒ AM là tia phân giác của ∠BAC (5)
Xét ΔABO và ΔACO có:
AB = AC (theo a)
AO: cạnh chung
BO = CO (do ΔOBC cân tại O)
⇒ ΔABO = ΔACO (c.c.c)
⇒ ∠BAO = ∠CAO (2 góc tương ứng)
⇒ AO là tia phân giác của ∠BAC (6)
Từ (5) và (6) ⇒ A, M, O thẳng hàng
⇒ AM, BH, CK đồng quy
