$\text{Bài 1:}$
$\text{Gọi giao điểm của AH và BC là I}$
$\text{Xét ΔABC có:}$
$\text{BE là đường cao (gt)}$
$\text{CF là đường cao (gt)}$
$\text{BE và CF cắt nhau tại H}$
$\text{⇒ H là trực tâm của ΔABC}$
$\text{⇒ AH ⊥ BC tại I}$
$\text{⇒ $\widehat{AIB}=\widehat{AIC}=90°$ Hay $\widehat{HIC}=90°$}$
$\text{BE ⊥ AC (gt) ⇒ $\widehat{BEA}=\widehat{BEC}=90°$ Hay $\widehat{HEC}=90°$}$
$\text{Xét tứ giác HECI có: $\widehat{HIC}+\widehat{HEC}=90°+90°=180°$}$
$\text{Mà hai góc này ở vị trí đối nhau}$
$\text{⇒ Tứ giác HECI nội tiếp đường tròn đường kính HC}$
$\text{⇒ $\widehat{EHC}=\widehat{EIC}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn $\overparen{EC}$)}$
$\text{Có $\widehat{AIB}=\widehat{AEB}=90°$}$
$\text{⇒ Hai điểm I và E cùng nhìn AB dưới một góc vuông}$
$\text{⇒ Hai điểm I và E cùng thuộc đường tròn đường kính AB}$
$\text{⇒ Bốn điểm I, E, B, A cùng thuộc đường tròn đường kính AB}$
$\text{⇒ Tứ giac IEAB nội tiếp đường tròn đường kính AB}$
$\text{⇒ $\widehat{EAB}+\widehat{EIB}=180°$ (tổng hai góc đối trong tứ giác nội tiếp)}$
$\text{Mà $\widehat{EIB}+\widehat{EIC}=180°$ (hai góc kề bù)}$
$\text{⇒ $\widehat{EAB}=\widehat{EIC}$}$
$\text{Mà $\widehat{EHC}=\widehat{EIC}$ (cmt)}$
$\text{⇒ $\widehat{EAB}=\widehat{EHC}$}$
$\text{Có $\widehat{EHC}+\widehat{CHB}=180°$ (hai góc kề bù)}$
$\text{Mà $\widehat{CHB}=\widehat{CDB}$ (hai góc đối nhau trong hình bình hành)}$
$\text{$\widehat{EAB}=\widehat{EHC}$ (cmt)}$
$\text{⇒ $\widehat{EAB}+\widehat{CDB}=180°$}$
$\text{Hay $\widehat{BAC}+\widehat{CDB}=180°$}$
$\text{Xét tứ giác ABDC có: $\widehat{BAC}+\widehat{CDB}=180°$}$
$\text{Mà hai góc này ở vị trí đối nhau}$
$\text{⇒ Tứ giác ABDC nội tiếp}$
