b, n³-n
= n(n²-1)
nếu n lẻ
⇒ n² lẻ
⇒ n²-1 chẵn chia hết cho 2 (1)
⇒ n(n²-1) chia hết cho 2
nếu n chẵn chia hết cho 2
⇒ n(n²-1) chia hết cho 2 (1)
từ (1) và (2), ⇒ n(n²-1) chia hết cho 2 (3)
ta thấy các số chính phương n² khi chia 3 luôn có số dư là 0;1
Nếu a=3k⇒a²=(3k)²=9k² chia 3 dư 0
Nếu a=3k+1⇒a²=(3k+1)²=(3k+1)(3k+1)=9k²+3k+3k+1 thì a chia cho 3 dư 1
Nếu a=3k+2⇒a²=(3k+2)²=(3k+2)(3k+2)=9k²+6k+6k+4 thì a chia cho 3 dư 1
nếu n=3k
⇒ n chia hết cho 3
⇒ n(n²-1) chia hết cho 3 (4)
nếu n=3k+1
⇒ n²=9k²+3k+3k+1
⇒ n²-1=9k²+3k+3k chia hết cho 3
⇒ n(n²-1) chia hết cho 3 (5)
nếu n=3k+2
⇒ n²=9k²+6k+6k+4
⇒ n²-1=9k²+6k+6k+3 chia hết cho 3
⇒ n(n²-1) chia hết cho 3 (6)
từ (4);(5) và (6), ⇒ n(n²-1) chia hết cho 3 (7)
từ (3) và (7), ⇒ n(n²-1)chia hết cho 2.3=6
⇒ n³-n chi hết cho 6 (đpcm)