Bài 1:
ĐK: $x \geq 3$.
Đặt $a = \sqrt{x-3}, b = \sqrt{x+2}; a, b \geq 0$. Khi đó
$$\sqrt{x^2 -x -6} = \sqrt{(x-3)(x+2)} = ab$$
Thay vào ptrinh ta có
$$ab -2a + b-2 = 0$$
$$<-> a(b-2) + (b-2) = 0$$
$$<-> (a+1)(b-2) = 0$$
Vậy $b = 2$ hoặc $a =-1$ (loại do $a \geq 0$).
Khi đó, ta có
$$\sqrt{x+2} = 2$$
Suy ra $x = 2$ (loại do ko thỏa mãn đk).
Vậy ptrinh vô nghiệm
Bài 2
ĐK: $x \geq 0$
Ta có
$$B =x+ 4\sqrt{x} + 5 = (\sqrt{x})^2 + 4\sqrt{x} + 4 + 1 = (\sqrt{x} + 2)^2 + 1$$
Dễ thấy rằng B là một hàm đồng biến theo $x$. Thật vậy, giả sử ta có $0 \leq x_1 < x_2$, khi đó
$$B(x_1) - B(x_2) = (\sqrt{x_1} - \sqrt{x_2})(\sqrt{x_1} + \sqrt{x_2} + 4)$$
Lại có $x_1 < x_2$ nên $\sqrt{x_1} - \sqrt{x_2}<0$. Mà $\sqrt{x_1} + \sqrt{x_2} + 4>0$ nên ta có
$$B(x_1) - B(x_2) <0$$
Vậy B min khi x min hay B min khi x = 0.
Bài 3
a) Xét tam giác vuông ACN có $BC \perp AN$, áp dụng hệ thức lượng ta có
$$AB. AN = AC^2$$
Tương tự ta cũng có
$$AD.AM = AC^2$$
Vậy
$$AB. AN = AD.AM (= AC^2)$$
b) Áp dụng Pytago trong tam giác vuông ADC ta có
$$AC^2 = AD^2 + CD^2 = 3^2 + 4^2 = 25$$
Vậy $AC = 5$. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ACM ta có
$$AD.AM = AC^2<-> 25 = AD(AD + DM) <-> 25 = 3(3 + DM)$$
Giải hệ ta có
$$DM = \dfrac{16}{3}$$
Ta có $\widehat{AMN} = \widehat{BAC}$ (cùng phụ $\widehat{CAM}$)
Lại có
$$\tan(\widehat{BAC}) = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{3}{4}$$
Do đó
$$\widehat{BAC} = arctan(\dfrac{3}{4})$$
Vậy
$$\widehat{AMN} = arctan(\dfrac{3}{4})$$
