Lời giải:

Gọi ƯCLN (a,b) là $d$ \(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=dm\\ b=dn\end{matrix}\right.\) với \((m,n)\) nguyên tố cùng nhau.

Khi đó: BCLN (a,b) là: \(dmn\)

Theo bài ra ta có:

\(\left\{\begin{matrix} dm+2dn=48\\ d+3dmn=114\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} d(m+2n)=48(1)\\ d(1+3mn)=114(2)\end{matrix}\right.\)

Từ (2) : \(d(3mn+1)=114=2.3.19\) (*)

Nếu \(dot\vdots 3\), kết hợp \(3mn+1ot\vdots 3\Rightarrow d(3mn+1)ot\vdots 3\Leftrightarrow 114ot\vdots 3\) (vô lý)

Do đó $d$ chia hết cho $3$ (**)

Mặt khác: Từ (1) suy ra (d) là ước của $48$ (***)

Từ (*); (**); (***) suy ra $d=3$ hoặc $d=6$

+) Nếu $d=3$, thay vào (2) suy ra \(3mn+1=38\rightarrow 3mn=37ot\vdots 3\) (vô lý)

+) Nếu \(d=6\Rightarrow \left\{\begin{matrix} m+2n=8\\ 3mn+1=19\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m+2n=8\\ mn=6\end{matrix}\right.\) suy ra $m$ chẵn.

Từ đây dễ dàng thấy (m,n)=(6;1) hoặc (2;3)

Kéo theo \((a,b)=(36,6);(12;18)\)