$\text{a) Xét ΔBID và ΔCID có:}$
$\text{DI chung}$
$\text{$\widehat{DIB}$ = $\widehat{DIC}$ = $90^{o}$ (DI là đg trung trực của BC)}$
$\text{BI = CI (DI là đg trung trực của BC)}$
$\text{⇒ ΔBID = ΔCID (c.g.c)}$
$\text{⇒BD = CD (2 cạnh t/ứ)}$
$\text{ΔDBC cân tại D}$
$\text{b) Xét ΔDBC có:}$
$\text{DI là đg cao (DI ⊥ BC)}$
$\text{CA là đg cao (ΔABC vuông tại A)}$
$\text{DI ∩ AC tại H}$
$\text{⇒ H là trực tâm ΔDBC}$
$\text{⇒ BH là đg cao}$
$\text{⇒ BH ⊥ DC}$
$\text{c) Xét ΔBAC vuông tại A có:}$
$\text{$\widehat{BAC}$ + $\widehat{ABC}$ +$\widehat{BCA}$ = $180^{o}$ (đl tổng 3 góc)}$
$\text{⇒ $90^{o} + $\widehat{ABC}$ +$\widehat{BCA}$ = $180^{o}$}$
$\text{⇒ $\widehat{ABC}$ +$\widehat{BCA}$ = $90^{o}$}$
$\text{⇒ $\widehat{ABC}$ < $90^{o}$}$
$\text{mà $\widehat{ABC}$ = $\widehat{ABH}$ + $\widehat{HBI}$}$
$\text{⇒ $\widehat{ABH}$ < $90^{o}$}$
$\text{Có: $\widehat{CIH}$ = $90^{o}$}$
$\text{⇒ $\widehat{ABH}$ < $\widehat{CIH}$}$
$\text{mà $\widehat{ABH}$ đối diện với AH}$
$\text{và $\widehat{CIH}$ đối diện với HC}$
$\text{⇒ AH < HC}$
