a) Xét $\Delta OAM$ và $\Delta OBN$ có:
$\widehat O$ chung
$OA=OB$ (giả thiết)
$\widehat{OAM}=\widehat{OBN}=90^o$ (giả thiết)
$\Rightarrow \Delta OAM=\Delta OBN $ (g.c.g)
$\Rightarrow OM=ON$ (hai cạnh tương ứng) (đpcm) và $\widehat{M_1}=\widehat{N_1}$ (hai góc tương ứng)
$\Rightarrow OM-OB=ON-OA\Rightarrow BM=AN$ (đpcm)
b) Xét $\Delta HBM$ và $\Delta HAN$ có:
$\widehat{M_1}=\widehat{N_1}$ (cmt)
$BM=AN$ (cmt)
$\widehat{MBH}=\widehat{NAH}=90^o$
$\Rightarrow \Delta HBM$ và $\Delta HAN$ (g.c.g)
$\Rightarrow HM=HN$ (hai cạnh tương ứng)
Xét $\Delta OHM$ và $\Delta OHN$ có:
$OH$ chung
$OM=ON$ (cmt)
$HM=HN$ (cmt)
$\Rightarrow \Delta OHM=\Delta OHN$ (c.c.c)
$\Rightarrow \widehat{MOH}=\widehat{NOH} $ (hai góc tương ứng)
$\Rightarrow OH$ là tia phân giác $\widehat O$ (1)
c) Xét $\Delta OIM$ và $\Delta OIN$ có:
$OI$ chung
$OM=ON$ (cmt)
$MI=NI$ (giả thiết)
$\Rightarrow \Delta OIM=\Delta OIN$ (c.c.c)
$\Rightarrow \widehat{MOI}=\widehat{NOI}$ (hai góc tương ứng)
$\Rightarrow OI$ là tia phân giác của $\widehat{O}$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra O, H,I đều thuộc tia phân giác của góc O
Vậy $O,H,I$ thẳng hàng
