Đáp án:
Giải thích các bước giải: Giải theo 12
2)1) ĐKXĐ$: 2x + 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ - \dfrac{3}{2}$
$ \sqrt[3]{4x + 5} - 3\neq0 ⇔ x \neq 1; x + 2 \neq0 ⇔ x \neq - 2 $
$PT ⇔ 2(x + 2)\sqrt[]{2x + 3} - 4(x + 2) = \sqrt[3]{4x + 5} - 3$
$ ⇔ [(2x + 3) + 1]\sqrt[]{2x + 3} = (4x + 5) + \sqrt[3]{4x + 5} $
$ ⇔ (\sqrt[]{2x + 3})³ + \sqrt[]{2x + 3} = (\sqrt[3]{4x + 5})³ + \sqrt[3]{4x + 5} (*)$
Xét hàm số $ f(t) = t³ + t $ có tập xác định $ D = R$
$f'(t) = 3t² + 1 > 0 ⇒ f(t) $ đồng biến trên $D = R$
Nghĩa là với mọi $t_{1} ≤ t_{2} ⇔ f(t_{1}) ≤ f(t_{2}) $
Với $t_{1} = \sqrt[]{2x + 3} ; t_{2} = \sqrt[3]{4x + 5} $
$(*) ⇔ f(t_{1}) = f(t_{2}) ⇔ t_{1} = t_{2} ⇔ \sqrt[]{2x + 3} = \sqrt[3]{4x + 5} $
$ ⇔ 2x + 3 = 4x + 5 ⇔ x = - 1 (TMĐK) $ là nghiệm duy nhất của $PT$
2.2) Biến đổi tương đương $PT$ thứ nhất:
$ x³ - 3x² + 3x - 1 = y³ + 3y² + 3y + 1$
$ ⇔ (x - 1)³ = (y + 1)³ ⇔ x - 1 = y + 1 ⇔ y = x - 2$
Thay vào $PT$ thứ hai:
$(x - 3)\sqrt[]{x + 1} - x\sqrt[]{4 - x} = 2x² - 6x - 3 ( - 1 ≤ x ≤ 4)$
$ ⇔ (x - 3)(\sqrt[]{x + 1} - 1) + x(1 - \sqrt[]{4 - x}) - 2x(x - 3) = 0$
$ ⇔ \dfrac{x(x - 3)}{\sqrt[]{x + 1} + 1} + \dfrac{x(x - 3)}{1 + \sqrt[]{4 - x}} - 2x(x - 3) = 0$
$ ⇔ x(x - 3)(\dfrac{1}{\sqrt[]{x + 1} + 1} + \dfrac{1}{1 + \sqrt[]{4 - x}} - 2) = 0 (*)$
Dễ thấy $ \dfrac{1}{\sqrt[]{x + 1} + 1} ≤ 1; \dfrac{1}{1 + \sqrt[]{4 - x}} ≤ 1$
$ ⇒ \dfrac{1}{\sqrt[]{x + 1} + 1} + \dfrac{1}{1 + \sqrt[]{4 - x}} - 2 < 0 (**)$
( Không thể xảy ra dấu bằng ở $(**)$ vì $ \sqrt[]{x + 1} = \sqrt[]{4 - x} = 0 $ vô lý.
Nên $(*) ⇔ x(x - 3) = 0 ⇒ x = 0; x = 3 ⇒ y = - 2; y = 1$
Vậy $HPT$ có nghiệm $(x; y) = (0; - 2); (3;1)$
