a)
Xét $\Delta AMB$ và $\Delta AMC$, ta có:
$AM$ là cạnh chung
$\widehat{BAM}=\widehat{CAM}$ ( $AM$ là phân giác $\widehat{BAC}$ )
$AB=AC$ ( $\Delta ABC$ cân tại $A$ )
$\to \Delta AMB=\Delta AMC\,\,\,\left( \,c\,.\,g\,.\,c\, \right)$
b)
Xét $\Delta AEM$ vuông tại $E$ và $\Delta AFM$ vuông tại $F$, ta có:
$AM$ là cạnh chung
$\widehat{EAM}=\widehat{FAM}$ ( $AM$ là phân giác $\widehat{BAC}$ )
$\to \Delta AEM=\Delta AFM\,\,\left( \,ch\,-\,gn\, \right)$
$\to\begin{cases}AE=AF\\ME=MF\end{cases}$ ( hai cạnh tương ứng )
$\to\begin{cases}\Delta{AEF}\text{ cân tại A }\\\Delta{MEF}\text{ cân tại M }\end{cases}$
c)
Gọi $S$ là giao điểm $AM$ và $EF$
Xét $\Delta AES$ và $\Delta AFS$, ta có:
$AE=AF\,\,\,\left( cmt \right)$
$\widehat{EAS}=\widehat{FAS}$ ( $AM$ là phân giác $\widehat{BAC}$ )
$AS$ là cạnh chung
$\to \Delta AES=\Delta AFS\,\,\,\left( \,c\,.\,g\,.\,c\, \right)$
$\to \widehat{ASE}=\widehat{ASF}$ ( hai góc tương ứng )
Mà $\widehat{ASE}+\widehat{ASF}=180{}^\circ $ ( hai góc kề bù )
$\to \widehat{ASE}=\widehat{ASF}=\dfrac{180{}^\circ }{2}=90{}^\circ $
$\to AS\bot EF$
$\to AM\bot EF$
d)
$\Delta AMB=\Delta AMC\,\,\,\left( cmt \right)$
$\to \widehat{AMB}=\widehat{AMC}$ ( hai góc tương ứng )
Mà $\widehat{AMB}+\widehat{AMC}=180{}^\circ $ ( hai góc kề bù )
$\to \widehat{AMB}=\widehat{AMC}=\dfrac{180{}^\circ }{2}=90{}^\circ $
$\to AM\bot BC$
Mà $AM\bot EF\,\,\,\left( cmt \right)$
$\to BC\,\,||\,\,EF$
$\begin{cases}BC\,\,||\,\,EF\,\,\,\left(cmt\right)\\BC\bot KI\,\,\,\left(gt\right)\end{cases}\to EF\bot KI$
$\Delta AEF$ cân tại $A\,\,\,\left( cmt \right)$
$\to \widehat{AEF}=\widehat{AFE}$
Mà: $\begin{cases}\widehat{AEF}+\widehat{AEK}=90{}^\circ\\\widehat{AFE}+\widehat{AKE}=90{}^\circ\end{cases}$
Nên: $\widehat{AEK}=\widehat{AKE}$
$\to \Delta AEK$ cân tại $A$
$\to AE=AK$
Mà $AE=AF\,\,\,\left( cmt \right)$
$\to AK=AF$
$\to A$ là trung điểm $KF$
