Sửa đề bài: Cho tam giác ABC cân tại C. Kẻ CI vuông góc với AB. Kẻ IH vuông góc với AC, IK vuông góc với BC.
a) Chứng minh IA = IB?
b) Chứng minh IH = IK?
c) Chứng minh HK song song với AB?
Giải thích các bước giải:
- Áp dụng chủ yếu TH bằng nhau của tam giác vuông: cạnh huyền - góc nhọn.
- Áp dụng quan hệ từ vuông góc - song song.
Trình bày lời giải:
a, Xét `ΔAIC` và `ΔBIC`, ta có:
- `AC = BC` (vì `ΔABC` cân tại `C`)
- `\hat{A} = \hat{B}` (vì `ΔABC` cân tại `C`)
- `\hat{CIA} = \hat{CIB} = 90^0` (vì `CI ⊥ AB`)
`⇒ ΔAIC = ΔBIC` (cạnh huyền - góc nhọn).
`⇒ IA = IB` (2 cạnh tương ứng) (đpcm).
b, Vì `ΔAIC = ΔBIC` (câu a) `⇒ \hat{ACI} = \hat{BCI}` (2 góc tương ứng)
Xét `ΔCHI` và `ΔCKI`, ta có:
- `CI`: cạnh chung.
- `\hat{ACI} = \hat{BCI}` (cmt)
- `\hat{CHI} = \hat{CKI} = 90^0` (vì `IH ⊥ CH ; IK ⊥ CK`)
`⇒ ΔCHI = ΔCKI` (cạnh huyền - góc nhọn).
`⇒ IH = IK` (2 cạnh tương ứng) (đpcm).
c, Vì `ΔCHI = ΔCKI` (câu b) `⇒ CH = CK` (2 cạnh tương ứng).
Gọi giao của `CI` và `HK` là `G`.
Xét `ΔCHG` và `ΔCKG`, ta có:
- `CH = CK` (cmt)
- `\hat{ACI} = \hat{BCI}` (câu b)
- `CG`: cạnh chung
`⇒ ΔCHG = ΔCKG` `(c.g.c)`
`⇒ \hat{CGH} = \hat{CGK}` (2 góc tương ứng)
Mà 2 góc này kề bù `⇒ \hat{CGH} = \hat{CGK} = 90^0`
`⇒ CG ⊥ HK`
Mà `CG` kéo dài cũng vuông góc với `AB`
`⇒ HK` // `AB` (quan hệ từ vuông góc đến song song) (đpcm).
