a) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta được:
$AH^2 = BH.HC$
$\Rightarrow AH = \sqrt{BH.HC} = \sqrt{1,8.3,2} = 2,4\, cm$
$AB^2 = BH.BC$
$\Rightarrow AB = \sqrt{BH.BC} = \sqrt{1,8.(1,8 + 3,2)} = 3\, cm$
$AC^2 = HC.BC$
$\Rightarrow AC = \sqrt{HC.BC} = \sqrt{3,2.(1,8 + 3,2)} = 4\, cm$
b) Ta có:
$\tan\widehat{B} = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{4}{3}$
$\Rightarrow \widehat{B} = \arctan\dfrac{4}{3}\approx 53^o$
$\Rightarrow \widehat{C} = 90^o - \widehat{B} = 37^o$
c) Áp dụng tính chất đường phân giác, ta được:
$\dfrac{AD}{DC} = \dfrac{AB}{BC}$
$\Rightarrow \dfrac{AD}{AC - AD} = \dfrac{AB}{BC}$
$\Rightarrow AD = \dfrac{AB.AC}{AB + BC} = \dfrac{3.4}{3 + 5} = \dfrac{3}{2}\, cm$
Áp dụng định lý Pytago, ta được:
$BD^2 = AB^2 + AD^2 = 3^2 + \left(\dfrac{3}{2}\right)^2 = \dfrac{45}{4}$
$\Rightarrow BD = \dfrac{3\sqrt5}{2}\, cm$
d) Ta có:
$\tan\widehat{ABD} = \dfrac{AD}{AB}$
$\Rightarrow \tan\widehat{ABD}= \dfrac{\dfrac{AB.AC}{AB + BC}}{AB} = \dfrac{AC}{AB + BC}$
