Giải thích các bước giải:
a.Ta có $\Delta ABC$ vuông tại $A, AH\perp BC$
$\to \dfrac{AB^2}{AC^2}=\dfrac{BH\cdot BC}{CH\cdot BC}=\dfrac{BH}{CH}$
$\to (\dfrac{AB^2}{AC^2})^2=(\dfrac{BH}{CH})^2$
$\to \dfrac{AB^4}{AC^4}=\dfrac{BH^2}{CH^2}=\dfrac{BE\cdot BA}{CF\cdot CA}$
$\to \dfrac{AB^3}{AC^3}=\dfrac{BE}{CF}$
$\to \dfrac{EB}{FC}=(\dfrac{AB}{AC})^3$
b.Ta có:
$AH^2=HB\cdot HC$
$\to (AH^2)^2=(HB\cdot HC)^2$
$\to AH^4=HB^2\cdot HC^2$
$\to AH^4=(BE\cdot BA)\cdot (CF\cdot CA)$
$\to AH^4=(BE\cdot CF)\cdot (BA\cdot CA)$
$\to AH^4=(BE\cdot CF)\cdot (AH\cdot BC)$
$\to AH^3=BC\cdot BE\cdot CF$
c.Ta có $\Delta BEH$ vuông tại $E, M$ là trung điểm $BH$
$\to EM=MH=MB=\dfrac12BH$
Tương tự $FN=NH=NC=\dfrac12CH$
$\to EM+FN=\dfrac12BH+\dfrac12CH=\dfrac12BC$
d.Từ câu c $\to \Delta EMH,\Delta FNC$ cân tại $M, N$
Ta có $HE//AC(\perp AB)$
$\to \widehat{EMB}=2\widehat{EHM}=2\widehat{FCN}=\widehat{FNH}$
$\to ME//FN$
e.Ta có $AB\perp AC, HE\perp AB, HF\perp AC$
$\to AEHF$ là hình chữ nhật
$\to AH=EF$
Ta có: $ME//FN\to MEFN$ là hình thang
Mà $\widehat{MEH}=\widehat{EHM}=90^o-\widehat{EHA}=\widehat{EAH}=\widehat{AEF}=90^o-\widehat{FEH}$
$\to\widehat{FEH}+\widehat{MEH}=90^o$
$\to\widehat{MEF}=90^o$
$\to ME\perp EF$
$\to MEFN$ là hình thang vuông tại $E,F$
$\to S_{FMNE}=\dfrac12EF\cdot (EM+ FN)$
$\to S_{FMNE}=\dfrac12\cdot AH\cdot \dfrac12BC=\dfrac12\cdot \dfrac12AH\cdot BC=\dfrac12S_{ABC}$
