`a)`
Xét `ΔABC` có:
`BK=CK(g``t)`
`AN=CN(g``t)`
`⇒KN` là đường trung bình của `ΔABC`
`⇒KN=1/2AB(đpcm)`
`⇒KN////AB⇒` tứ giác `ABKN` là hình thang `(1)`
Vì:
`AB⊥AC(g``t)`
`KN////AB(cmt)`
`⇒AC⊥KN(2)`
Từ `(1)` và `(2):`
`⇒ABKN` là hình thang vuông
`b)`
Ta có:
`KN////AB(cmt)⇒NQ////BM`
Xét tứ giác `BMQN` có:
`NQ////BM(cmt)`
`BN////MQ(g``t)`
`⇒`Tứ giác `BMQN` là hình bình hành(hình bình hành có các cạnh đối song song là hình bình hành)
`⇒BM=NQ`
Mà: `BM=KN=AM(=1/2AB)`
`⇒NQ=KN`
Xét tứ giác `AKCQ` có:
`NQ=KN(cmt)`
`AN=CN(g``t)`
`⇒`Tứ giác `AKCQ` là hình bình hành(tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành)
Lại có:`KN⊥AC` hay `KQ⊥AC`
`⇒`Hình bình hành `AKCQ` là hình thoi(hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi)
`c)`
Xét `ΔBKQ` có:
`BN` là đường trung tuyến
`KO` là đường trung tuyến `(BO=QO(BMQN` là hình bình hành `))`
`I` là giao của `BN` và `KO`
`⇒I` là trọng tâm của `ΔBKQ`
`⇒OI=1/3 OK(3)`
Ta có:
`AB=AM+BM`
`KQ=KN+NQ`
Mà:`AM=BM=KN=NQ=1/2AB`
`⇒KQ=AB`
Ta có:
`KN////AB⇒KQ////AB`
Xét tứ giác `ABKQ` có:
`KQ=AB(cmt)`
`KQ////AB(cmt)`
`⇒`tứ giác `ABKQ` là hình bình hành `(` Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành`)`
`⇒OK=OA=1/2 AK(4)`
Từ `(3)` và `(4):`
`⇒OI=1/3 . 1/2AK`
`⇒OI=1/6.AK`
Mà:`AK=1/2BC`(trong tam giác vuông `ABC` đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng `1/2` cạnh huyền)
`⇒OI=1/6 . 1/2.BC`
`⇒OI=1/(12) . 24`
`⇒OI=2(cm)`
Vậy `OI=2(cm)`
