Đáp án:
a, `\DeltaABC` $\backsim$ `\DeltaEAC;AE=24` `\text{(cm)}`
b, $BD.EF=BF.AD$
c, $AF=AD$
d, $AF=15$ `text{(cm)}`
Giải thích các bước giải:
a, Áp dụng định lí Pitago vào `\Delta ABC` ta có:
$BC^2=AB^2+AC^2$
`=>`$BC^2=30^2+40^2=2500$
`=>`$BC=25$ `\text{(cm)}`
Xét `\DeltaABC` và `\DeltaEAC` có:
`\hat{BAC}=\hat{AEC}=90^o`
`\hat{C}` chung
`=>``\DeltaABC` $\backsim$ `\DeltaEAC` `\text{(g.g)}`
`=>\frac{AB}{AE}=\frac{BC}{AC}`
`=>\frac{30}{AE}=\frac{50}{40}`
`=>AE=24` `\text{(cm)}`
b, Xét `\DeltaABD` và `\DeltaEBF` có:
`\hat{BAD}=\hat{BEF}=90^o`
`\hat{ABD}=\hat{EBF}` `\text{(}`Do `BD` là đường phân giác`text{)}`
`=>` $\Delta{ABD} \sim \Delta{EBF}$ `\text{g.g}`
`=>`$\dfrac{BD}{AD}=\dfrac{BF}{EF}$
`=>`$BD.EF=BF.AD$ `\text{(đpcm)`
c, Ta có: `\hat{ABD}+\hat{ADB}=\hat{EBF}+\hat{EFB}=90^o`
Mà `\hat{AED}=\hat{EFB}` `\text{(}`Hai góc đối đỉnh`\text{)}`
`\hat{ABD}=\hat{EBF}` `\text{(}`Do `BD` là đường phân giác`text{)}`
`=>\hat{ABD}+\hat{ADB}=\hat{ABD}+\hat{AED}`
`=>\hat{ADB}=\hat{AED}`
`=>\DeltaAED` cân tại `\text{A}`
`=>`$AF=AD$ `text{(}`Hai cạnh bên bằng nhau`text{)}`
d, Do `BD` là đường phân giác $\widehat{ABC}$
`=>`$\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{AD}{DC}$
`=>`$\dfrac{AB}{AB+BC}=\dfrac{AD}{AD+DC}$
`=>`$\dfrac{AB}{AB+BC}=\dfrac{AD}{BC}$
`=>`$\dfrac{30}{30+50}=\dfrac{AD}{40}$
`=>`$AD=\dfrac{30.40}{30+50}=15$
Mà $AF=AD$ `\text{(}`Theo câu a`\text{)}`
`=>`$AF=15$ `text{(cm)}`
