a)
$\Delta ABC$ vuông tại $A$
$\to B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}$ ( định lý Pi – ta – go )
$\to B{{C}^{2}}={{3}^{2}}+{{4}^{2}}$
$\to B{{C}^{2}}=9+16$
$\to B{{C}^{2}}=25$
$\to BC=\sqrt{25}$
$\to BC=5\,\,\,\left( cm \right)$
b)
Xét $\Delta ABD$ vuông tại $A$ và $\Delta EBD$ vuông tại $E$, ta có:
$BD$ là cạnh cung
$\widehat{ABD}=\widehat{EBD}$ ( vì $BD$ là tia phân giác $\widehat{ABC}$ )
$\to \Delta ABD=\Delta EBD$ ( cạnh huyền – góc nhọn )
c)
Vì $\Delta ABD=\Delta EBD\,\,\,\left( \,cmt\, \right)$
$\to AD=ED$ ( hai cạnh tương ứng )
Xét $\Delta ADF$ vuông tại $A$ và $\Delta EDC$ vuông tại $E$, ta có:
$AD=ED\,\,\,\left( \,cmt\, \right)$
$\widehat{ADF}=\widehat{EDC}$ ( hai góc đối đỉnh )
$\to \Delta ADF=\Delta EDC$ ( cạnh góc vuông – góc nhọn )
$\to DF=DC$ ( hai cạnh tương ứng )
$\to \Delta DFC$ cân tại $D$
d)
Vì $\Delta ABD=\Delta EBD\,\,\,\left( \,cmt\, \right)$
$\to AB=EB$ ( hai cạnh tương ứng )
$\to \Delta ABE$ cân tại $B$
$\to \widehat{BAE}=\dfrac{180{}^\circ -\widehat{B}}{2}\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$
Vì $\Delta ADF=\Delta EDC\,\,\,\left( \,cmt\, \right)$
$\to AF=EC$ ( hai cạnh tương ứng )
Ta có:
$\begin{cases}AB=EB\,\,\,\left(\,cmt\,\right)\\AF=EC\,\,\,\left(\,cmt\,\right)\end{cases}$
$\to AB\,+\,AF\,=\,EB\,+\,EC$
$\to BF\,=\,BC$
$\to \Delta BFC$ cân tại $B$
$\to \widehat{BFC}=\dfrac{180{}^\circ -\widehat{B}}{2}\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$:
$\to \widehat{BAE}=\widehat{BFC}$
Mà hai góc này nằm ở vị trí đồng vị
Vậy $AE\,\,||\,\,FC$
