$\begin{array}{l} {a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc = 0\\  \Leftrightarrow {\left( {a + b} \right)^3} - 3ab\left( {a + b} \right) - 3abc + {c^3} = 0\\  \Leftrightarrow {\left( {a + b} \right)^3} - 3ab\left( {a + b + c} \right) + {c^3} = 0\\  \Leftrightarrow {\left( {a + b + c} \right)^3} - 3\left( {a + b} \right)c\left( {a + b + c} \right) - 3ab\left( {a + b + c} \right) = 0\\  \Leftrightarrow \left( {a + b + c} \right)\left[ {{{\left( {a + b + c} \right)}^2} - 3\left( {a + b} \right)c - 3ab} \right] = 0\\  \Leftrightarrow \left( {a + b + c} \right)\left[ {{a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca} \right] = 0\\  \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\left( {a + b + c} \right)\left[ {{{\left( {a - b} \right)}^2} + {{\left( {b - c} \right)}^2} + {{\left( {c - a} \right)}^2}} \right] = 0\\  \Rightarrow a = b = c\left( {\text{do} \,a+b+c\ne 0} \right)\\ M = \dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}} = \dfrac{{3{a^2}}}{{{{\left( {3a} \right)}^2}}} = \dfrac{{3{a^2}}}{{9{a^2}}} = \dfrac{1}{3} \end{array}$  

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

$a^{3}+b^3+c^3=3abc$ 

⇔$a^{3}+b^3+c^3-3abc=0$ 

⇔$(a+b)^{3}-3ab(a+b)+c^3-3abc=0$ 

⇔$[(a+b)^{3}+c^3]-[3ab(a+b)+3abc]=0$

⇔$(a+b+c)[(a+b)^{2}-(a+b)c+c^2]-3ab(a+b+c)=0$ 

⇔$(a+b+c)(a^{2}+2ab+2b^2-ac-bc+c^2-3ab)=0$ 

⇔$(a+b+c)(a^{2}+b^2+c^2-ab-bc-ca)=0$ 

⇔$\left \{ {{a+b+c=0} \atop {a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0}} \right.$ (1)

Ta có: $a+b+c^{}\neq0$

(1)⇒$a^{2}+b^2+c^2-ab-bc-ac=0$ 

⇔$2(a^{2}+b^2+c^2-ab-bc-ac)=0$ 

⇔$2a^{2}+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac=0$ 

⇔$(a-b)^{2}+(b-c)^2+(a-c)^2=0$ 

⇔$a=b=c^{}$ 

Thay $a=b=c^{}$ vào biểu thức M ta có :

M=$\frac{a^2+b^2+c^2}{(a+b+c)^2}=\frac{a^2+a^2+a^2}{(a+a+a)^2}=\frac{3a^2}{(3a)^2}=\frac{3a^2}{9a^2}=\frac{1}{3}$

Vậy với $a^{3}+b^3+c^3=3abc$ và a+b+c$\neq$0 thì M=$\frac{1}{3}$