$\\$
`a,`
Xét `ΔAMB` và `ΔANC` có :
`hat{AMB}=hat{ANC}=90^o` (gt)
`AB=AC` (Do `ΔABC` cân tại `A`)
`hat{A}` chung
`-> ΔAMB = ΔANC` (cạnh huyền - góc nhọn)
`-> AM=AN` (2 cạnh tương ứng)
`-> A` nằm trên đường trung trực của `MN` (*)
Xét `ΔANH` và `ΔAMH` có :
`hat{ANH}=hat{AMH}=90^o` (gt)
`AH` chung
`AM=AN` (cmt)
`-> ΔANH = ΔAMH` (cạnh huyền - cạnh góc vuông)
`-> NH=MH` (2 cạnh tương ứng)
`-> H` nằm trên đường trung trực của `MN` (**)
Từ (*), (**)
`-> AH` là đường trung trực của `MN`
$\\$
`b,`
Do `ΔAMB = ΔANC` (cmt)
`-> hat{ABM}=hat{ACN}` (2 góc tương ứng)
Có : `hat{ABM}+hat{HBC}=hat{ABC}`
Có : `hat{ACN}+hat{HCB}=hat{ACB}`
mà `hat{ABM}=hat{ACN}` (cmt) và `hat{ABC}=hat{ACB}` (Do `ΔABC` cân tại `A`)
`-> hat{HBC}=hat{HCB}`
`-> ΔBHC` cân tại `H`
`-> HB=HC`
$\\$
`c,`
Xét `ΔHMC` có :
`hat{HMC}=90^o` (gt)
Áp dụng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện có :
`HC` là cạnh lớn nhất
`-> HC > MH`
mà `BH=HC` (cmt)
`-> BH > MH`
