Giải thích các bước giải:
Gọi M, N là trung điểm của DE, EF.
a, Xét 2 tam giác vuông ΔAEM và ΔADM có:
AM chung; EM = DM
⇒ ΔAEM = ΔADM (2 cạnh góc vuông)
⇒ AE = AD và $\widehat{A2}$ = $\widehat{A1}$ (1)
Chứng minh tương tự ta có: AE = AF và $\widehat{A4}$ = $\widehat{A3}$ (2)
Từ (1), (2) suy ra:
AE = AD = AF và $\widehat{A1}$ + $\widehat{A2}$ + $\widehat{A3}$ + $\widehat{A4}$ = 2. ($\widehat{A2}$ + $\widehat{A3}$) = 2. $90^{o}$ = $180^{o}$
⇒ AD = AF và D, A, F thẳng hàng
⇒ D và F đối xứng nhau qua A (đpcm).
b, F đối xứng với E qua N ⇒ EN⊥AC, tương tự EM⊥AB
⇒ AMEN là hình chữ nhật ⇒ EM⊥EN
⇒ ΔDEF là tam giác vuông tại E.
c, Xét ΔABD và ΔABE có:
AB chung; AD = AE; $\widehat{A1}$ = $\widehat{A2}$
⇒ ΔABD = ΔABE (c.g.c) ⇒ BD = BE
Tương tự ta chứng minh được CE = CF
Suy ra: BD + CF = BE + CE = BC (đpcm).
d, EN ║ AB ⇒ $\widehat{E1}$ = $\widehat{B1}$ mà $\widehat{B1}$ = $\widehat{B2}$ (do ΔABD = ΔABE) và$\widehat{E1}$ = $\widehat{F1}$
⇒ $\widehat{B2}$ = $\widehat{F1}$
lại có AB ║ EF ⇒ BD ║ CF
⇒ BDFC là hình thang (CF, BD là 2 cạnh đáy)
e, Để BDFC là hình bình hành thì CF = BD mà CF = CE; BD = BE
⇒ CE = BE ⇔ E là trung điểm của BC
f, Để BDFC là hình chữ nhật thì BD⊥BC mà $\widehat{B2}$ = $\widehat{B1}$
⇒ $\widehat{B2}$ = $\widehat{B1}$ = $45^{o}$ ⇒ ΔABC vuông cân ở A.
Đồng thời kết hợp với điều kiện để BDFC là hình bình hành tức E là trung điểm của BC
Khi đó BDFC sẽ là hình chữ nhật
