$1)BC=BH+CH=25$

$\Delta ABC$ vuông tại $A,$ đường cao $AH$

$AH^2=BH.CH\\ \Rightarrow AH=\sqrt{BH.CH}=12\\ AB=\sqrt{BC^2-AC^2}=15$$2)\Delta AHC$ vuông tại $H$

$AC=\sqrt{AH^2+HC^2}=4\sqrt{10}$

$\Delta AHB$ vuông tại $H$

$BH=\sqrt{AB^2-AH^2}=3$

$BC=BH+CH=3+12=15$

$\Rightarrow$ Chu vi $\Delta ABC:AB+AC+BC=20+4\sqrt{10}$

$3)$Ta có $AC^2=AB^2+BC^2(4,5^2+6^2=7,5^2)$

$\Rightarrow \Delta ABC$ vuông tại $B$

$4)a)\Delta ABC$ cân tại $A$

$\Rightarrow AB=AC$

Xét $\Delta AHB$ và $\Delta AKC$

$\widehat{BAC}:$chung

$AB=AC\\ \widehat{AHB}=\widehat{AKC}=90^o\\ \Rightarrow\Delta AHB = \Delta AKC\\ \Rightarrow AH=AK$

$b)$Xét $\Delta KAI$ và $\Delta HAI$

$AI$:chung

$\widehat{AKI}=\widehat{AHI}=90^o\\ AK=AH\\ \Rightarrow\Delta KAI = \Delta HAI\\ \Rightarrow\widehat{KAI}=\widehat{HAI}$

$c)\Delta ABC$ cân tại $A$ có $AM$ là trung tuyến

$\Rightarrow AM$ đồng thời là đường cao

$\Rightarrow AM \perp BC(1)$

$\Delta ABC$ cân tại $A$ có $AI$ là phân giác$(\widehat{KAI}=\widehat{HAI})$

$\Rightarrow AI$ đồng thời là đường cao

$\Rightarrow AI \perp BC(2)$

$(1)(2)\Rightarrow A,I,M$ thẳng hàng

$5)$Giao $MC,NB$ là $D$

$a)\Delta MAB,NAC$ vuông cân tại $A$

$\Rightarrow MA=AB;AN=AC(*);\widehat{A_1}=\widehat{A_3}=90^o\\ \widehat{MAC}=\widehat{A_1}+\widehat{A_2}=\widehat{A_3}+\widehat{A_2}=\widehat{BAN}$

Xét $\Delta MAC$ và $\Delta BAN$

$\widehat{MAC}=\widehat{BAN}\\ MA=AB\\ AC=AN\\ \Rightarrow\Delta MAC = \Delta BAN\\ \Rightarrow MC=BN\\ b)\Rightarrow\Delta MAC = \Delta BAN\\ \Rightarrow \widehat{C_1}=\widehat{N_1}\\ \Delta ACN\\ \widehat{A_3}+\widehat{ANC}+\widehat{C_2}=180^o\\ \Rightarrow \widehat{ANC}+\widehat{C_2}=180^o-90^o=90^o\\ \Leftrightarrow \widehat{N_1}+\widehat{N_2}+\widehat{C_2}=90^o\\ \Leftrightarrow \widehat{C_1}+\widehat{N_2}+\widehat{C_2}=90^o\\ \Leftrightarrow \widehat{C_1}+\widehat{C_2}+\widehat{N_2}=90^o\\ \Leftrightarrow \widehat{DCN}+\widehat{N_2}=90^o\\ \Delta DNC\\ \widehat{D_1}+\widehat{DCN}+\widehat{N_2}=90^o\\ \Rightarrow\widehat{D_1}=90^o\\ \Rightarrow MC \perp NB$

$c)\Delta ABC$ đều 

$\Rightarrow AB=AC=BC(**);\widehat{A_2}=\widehat{ACB}=60^o\\ (*);(**)\Rightarrow AM=AB=AC=BC=AN$

$\Rightarrow \Delta MAC$ cân tại $A$

$\Rightarrow \widehat{M_1}= \widehat{C_1}=\dfrac{180^o-\widehat{MAC}}{2}=\dfrac{180^o-\widehat{A_1}-\widehat{A_2}}{2}=15^o\\ \Rightarrow \widehat{C_3}=\widehat{ACB}-\widehat{C_1}=45^o\\ AM=AN$

$\Rightarrow \Delta MAN$ cân tại $A$

$\Rightarrow \widehat{M_2}=\dfrac{180^o-\widehat{MAN}}{2}=\dfrac{360^o-\widehat{A_1}-\widehat{A_2}-\widehat{A_3}}{2}=30^o\\ \Rightarrow \widehat{NMC}=\widehat{M_1}+\widehat{M_2}=45^o=\widehat{C_3}\\ \Rightarrow MN//BC\\ MB=\sqrt{AM^2+AB^2}=4\sqrt{2}\\ NC=\sqrt{AN^2+AC^2}=4\sqrt{2}$