a)
$\begin{cases}\widehat{MBD}=\widehat{ACB}\,\,\,\left(\text{ tam giác ABC là tam giác cân }\right)\\\\\widehat{NCE}=\widehat{ACB}\,\,\,\left(\text{ hai góc đối đỉnh }\right)\end{cases}$
$\to \widehat{MBD}=\widehat{NCE}$
Xét $\Delta MBD$ vuông tại $D$ và $\Delta NCE$ vuông tại $E$, ta có:
$BD=CE\,\,\,\left( \,gt\, \right)$
$\widehat{MBD}=\widehat{NCE}\,\,\,\left( \,cmt\, \right)$
$\to \Delta MBD=\Delta NCE\,\,\,\left( \,cgv\,-\,gn\, \right)$
$\to MD=NE\,\,\,\left(\text{ hai cạnh tương ứng }\right)$
b)
Xét $\Delta MGD$ vuông tại $D$ và $\Delta NGE$ vuông tại $E$, ta có:
$MD=NE\,\,\,\left( \,cmt\, \right)$
$\widehat{MGD}=\widehat{NGE}\,\,\,\left(\text{ hai góc đối đỉnh }\right)$
$\to \Delta MGD=\Delta NGE\,\,\,\left( \,cgv\,-\,gn\, \right)$
$\to MG=NG\,\,\,\left(\text{ hai cạnh tương ứng }\right)$
$\to G\text{ là trung điểm } MN$
c)
$\begin{cases}G\text{ là trung điểm } MN\,\,\,\left(\,cmt\,\right)\\\\IG\bot MN\,\,\,\left(\,gt\,\right)\end{cases}$
$\to IG\text{ là đường trung trực của } MN$
$\to IM=IN$
$\to \Delta IMN\text{ là tam giác cân tại } I$
