Nhận xét $x^2-8x+20=(x-4)^2+4\ge 4>0$.
Vậy để cho bất phương trình đúng với mọi x thì $mx^2+2(m+1)x+9m+4<0$ với mọi x
Để cho bất phương trình đúng với mọi x thì ta xét hai trường hợp
$\left\{ \begin{gathered} m = 0 \hfill \\ 2(m + 1) = 0 \hfill \\ 9m + 4 < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m = 0 \hfill \\ m = - 1 \hfill \\ m < \frac{{ - 4}}{9} \hfill \\ \end{gathered} \right.(L)$
Trường hợp $m\ne 0$. Bất phương trình trở thành bất phương trình bậc hai
Để cho bất phương trình có nghiệm với mọi x thì
$\left\{ \begin{gathered} m < 0 \hfill \\ \Delta ' < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m < 0 \hfill \\ {(m + 1)^2} - m(9m + 4) < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m < 0 \hfill \\ - 8{m^2} - 2m + 1 < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m < 0 \hfill \\ \left[ \begin{gathered} m < - \frac{1}{2} \hfill \\ m > \frac{1}{4} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow m < - \frac{1}{2}$
Vậy $m<-\dfrac{1}{2}$ thì bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x
