Ta biết rằng: mỗi số nguyên hoặc chia hết cho 3 hoặc chia cho 3 dư 1 hoặc 2. Nếu số tự nhiên chia hết cho 3 tức là \(n = 3k\) thì bình phương của nó là \(9{k^2}\) rõ ràng chia hết cho 3. Nếu n khi chia cho 3 dư 1 tức là \(n = 3k + 1\) thì bình phương của nó là \({n^2} = 3(3{k^2} + 2k) + 1\) khi chia cho 3 cũng dư 1. Nếu n khi chia cho 3 dư 2 tứ là \(n = 3k + 2\) thì bình phương của nó là \({n^2} = 3(3{k^2} + 4k + 1) + 1\) khi chia cho 3 dư 1. Như vậy ta thấy, nếu một trong hai số không chia hết cho 3 thì bình phương của nó khi chia cho 3 sẽ dư 1, vì thế tổng các bình phương của hai số này khi chia cho 3 sẽ dư 1. Còn nếu cả hai đều không chia hết cho 3 thì tổng bình phương của chúng khi chia cho 3 sẽ dư 2. Vậy tổng các bình phương của hai số nguyên chỉ chia hết cho 3 trong trường hợp mỗi số chia hết cho 3.
Ta biết rằng: mỗi số nguyên hoặc chia hết cho 3 hoặc chia cho 3 dư 1 hoặc 2. Nếu số tự nhiên chia hết cho 3 tức là n=3kn=3k thì bình phương của nó là 9k29k2 rõ ràng chia hết cho 3. Nếu n khi chia cho 3 dư 1 tức là n=3k+1n=3k+1 thì bình phương của nó là n2=3(3k2+2k)+1n2=3(3k2+2k)+1 khi chia cho 3 cũng dư 1. Nếu n khi chia cho 3 dư 2 tứ là n=3k+2n=3k+2 thì bình phương của nó là n2=3(3k2+4k+1)+1n2=3(3k2+4k+1)+1 khi chia cho 3 dư 1. Như vậy ta thấy, nếu một trong hai số không chia hết cho 3 thì bình phương của nó khi chia cho 3 sẽ dư 1, vì thế tổng các bình phương của hai số này khi chia cho 3 sẽ dư 1. Còn nếu cả hai đều không chia hết cho 3 thì tổng bình phương của chúng khi chia cho 3 sẽ dư 2. Vậy tổng các bình phương của hai số nguyên chỉ chia hết cho 3 trong trường hợp mỗi số chia hết cho 3.