$\lim\limits_{x\to 3}\dfrac{\sqrt{x+1}-2+2-\sqrt[3]{x+5}}{x-3}$
$=\lim\limits_{x\to 3}\Big( \dfrac{x+1-4}{(x-3)(\sqrt{x+1}+2)}+\dfrac{8-x-5}{(x-3)(4+2.\sqrt[3]{x+5}+\sqrt[3]{x+5}^2)}\Big)$
$=\lim\limits_{x\to 3}\Big(\dfrac{1}{\sqrt{x+1}+2}-\dfrac{1}{4+2.\sqrt[3]{x+5}+\sqrt[3]{x+5}^2}\Big)$
$=\dfrac{1}{2+2}-\dfrac{1}{4+2.2+2^2}$
$=\dfrac{1}{6}$