Giải thích các bước giải:
Xét \(\triangle AHB\) và \(\triangle ABC \) có :
- Chung \(\widehat{B}\)
- \(\widehat{AHB}=\widehat{CAB}=90^{\circ}\)
Vậy \(\triangle AHB \sim \triangle CAB\) (g.g) suy ra \(\frac{AB}{BH}=\frac{BC}{AB}\)
Hay \( AB^2= BH. BC\)
Xét \(\Delta ABE \) vuông cân ở A nên AI vừa là đường cao vừa là trung tuyến
Suy ra \( \Delta ABI\) vuông cân ở I. Suy ra \(AB= \sqrt{2} AI\)
Ta có: \( BH. BC = AB^2 = 2AI^2 =AI. (2AI)= BI.BE \) :( do \(AI=BI= BE/2\) )
Vậy \(\frac{BH}{BE}=\frac{BI}{BC}\)
Xét \(\triangle BHI\) và \(\triangle BEC\) có :
\(\frac{BH}{BE}=\frac{BI}{BC}\); chung \(\widehat{EBC}\)
Vậy \(\triangle BHI \sim \triangle BEC\) (c.g.c)
Suy ra \(\widehat{BHI}=\widehat{BEC}\)
Hay \( \widehat{BHA}+\widehat{AHI}= \widehat{BHI} = \widehat{BEC} = 180^{\circ}- \widehat{BEA} =180^{\circ}-45^{\circ}=135^{\circ}\)
\(90^{\circ}+\widehat{AHI} =135^{\circ} \)
\(\widehat{AHI}=45^{\circ}\).
