Bài 1 :

a) Để phân số \(A=\dfrac{4}{x-3}\) là phân số thì :

\(n-3e0\)

\(\Rightarrow ne0+3\)

\(\Rightarrow ne3\)

Vậy \(ne3\) thì A là phân số

b) +) Với \(n=0\) thì phân số \(A=\dfrac{4}{n-3}=\dfrac{4}{0-3}=\dfrac{4}{-3}=\dfrac{-3}{4}\)

+) Với \(n=10\) thì phân số \(A=\dfrac{4}{n-3}=\dfrac{4}{10-3}=\dfrac{4}{7}\)

+) Với \(n=-2\) thì phân số \(A=\dfrac{4}{n-3}=\dfrac{4}{-2-3}=\dfrac{4}{-5}=\dfrac{-4}{5}\)

Bài 2 :

Để phân số \(A=\dfrac{n+3}{n-5}\) là số nguyên thì :

\(n+3⋮n-5\)

Mà \(n-5⋮n-5\)

\(\Rightarrow8⋮n-5\)

Vì \(n\in Z\Rightarrow n-5\in Z;n-5\inƯ\left(8\right)\)

Ta có bảng :

Vậy \(n\in\left\{6;13;4;-3;7;9;3;1\right\}\) lf giá trị cần tìm

Bài 3 :

Giả sử phân số \(\dfrac{5n+1}{20n+3}\) chưa tối giản với mọi \(n\in N\)

\(\Rightarrow5n+1;20n+3\) có ước chung là số nguyên tố

Gọi số nguyên tố \(d\) là \(ƯC\left(5n+1;20n+3\right)\) (\(d\in N\)*)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}5n+1⋮d\\20n+3⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}20n+4⋮d\\20n+3⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow1⋮d\)

Vì \(d\in N\)*; \(1⋮d\Rightarrow d=1\)

\(\RightarrowƯCLN\left(5n+1;20n+3\right)=1\)

\(\Rightarrow\)Phân số \(\dfrac{5n+1}{20n+3}\) tối giản với mọi n

Bài 4 :

Ta có :

\(A=\dfrac{10^8+2}{10^8-1}=\dfrac{10^8-1+3}{10^8-1}=\dfrac{10^8-1}{10^8-1}+\dfrac{3}{10^8-1}=1+\dfrac{3}{10^8-1}\)

\(B=\dfrac{10^8}{10^8-3}=\dfrac{10^8-3+3}{10^8-3}=\dfrac{10^8-3}{10^8-3}+\dfrac{3}{10^8-3}=1+\dfrac{3}{10^8-3}\)

Vì \(1+\dfrac{3}{10^8-1}< 1+\dfrac{3}{10^8-3}\Rightarrow A< B\)