a) Ta có \(\widehat{AKB}=90⁰\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AB)
Tứ giác IEKB có:
\(\widehat{AKB}=90⁰=\widehat{EKB}\)
\(\widehat{EIB}=90⁰\)
Có tổng 2 góc đối $\widehat{EKB}+\widehat{EIB}=90⁰+90⁰=180⁰$
`=>` Tứ giác IEKB nội tiếp đường tròn đường kính EB
b) Xét 2 tam giác AME và AKM
\(\widehat{MAE}\) chung
\(\widehat{AME}=\widehat{AKM}\) (góc nội tiếp cùng chắn hai cung AM= AN)
`=>` tam giác AME đồng dạng tam giác AKM (g.g)
$\Rightarrow\dfrac{AM}{AK}=\dfrac{AE}{AM}$ (hai cạnh tương ứng tỉ lệ)
$\Rightarrow AM^2=AE.AK$
c) Áp dụng hệ thức lượng vào $\Delta ANB\bot N$ đường cao $NI\bot AB$ ta có:
$BI.BA=NB^2$
Và ta có $AE.AK=AM^2=AN^2$ (chứng minh câu b và AM=AN tích chất đường kính và dây cung)
$\Rightarrow AE.AK+BI.BA=AN^2+NB^2=AB^2$ (áp dụng pitago vào tam giác ANB)
$(2R)^2=4R^{2}$
d) $\Delta MIO\bot I$ áp dụng định lý Pitago ta có:
$OI^2+MI^2=OM^2=R^2$
Ta có: $(MI-IO)^2\ge0\Leftrightarrow 2MI^2+2IO^2\ge MI^2+IO^2+2MI.IO=(MI+IO)^2$
$\Rightarrow MI+IO\le\sqrt{2(MI^2+IO^2)}=R\sqrt2$
Chu vi của tam giác $MIO$ là:
$OM+OI+IM\le R+R\sqrt{2}$
Mậy Chu vi $MIO$ lớn nhất là bằng $R(1+\sqrt2)$ khi $MI=IO$ hay I là trung điểm của AO.
