a/ Áp dụng định lý Pytago vào $ΔABC$ vuông tại $A$:

$→AC^2=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{25^2-15^2}=\sqrt{400}=20cm$

Áp dụng hệ thức lượng vào $ΔABC$ vuông tại $A$ có đường cao $AH$:

$·\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}\\↔\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{15^2}+\dfrac{1}{20^2}\\↔\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{144}\\→AH^2=144\\↔AH=12cm(AH>0)$

$·AB^2=BH.BC\\↔15^2=BH.25\\↔225=BH.25\\↔9cm=BH$

$·AC^2=CH.BC\\↔20^2=CH.25\\↔400=CH.25\\↔16cm=CH$

$Bx//AC→BD//AC$

$→\dfrac{BH}{CH}=\dfrac{DH}{AH}$ (Định lý Talet)

hay $\dfrac{9}{16}=\dfrac{DH}{12}$

$↔DH=6,75cm$

b/ $BD//AC$ mà $AB⊥AC$

$→BD⊥AB$

Áp dụng hệ thức lượng vào $ΔABD$ vuông tại $B$ có đường cao $BH$:

$AB^2=AH.AD$

Áp dụng hệ thức lượng vào $ΔABC$ vuông tại $A$ có đường cao $AH$:

$AB^2=BH.BC$

Ta có: $\begin{cases}AB^2=AH.AD\\AB^2=BH.BC\end{cases}$

$→BH.BC=AH.AD$

c/ $BD//AC$

$→\widehat{HBD}=\widehat{BCA}$

$→\cos \widehat{HBD}=\cos \widehat C$

Xét $ΔABC$ vuông tại $A$:

$\cos \widehat C=\dfrac{CA}{CB}$

Xét $ΔHBD$ vuông tại $H$:

$\cos \widehat{HBD}=\dfrac{BH}{BD}$

Ta có: $BD//AC$

$→\dfrac{BH}{BD}=\dfrac{CH}{CA}$

$→\cos\widehat{HBD}=\dfrac{CH}{CA}$

$↔\cos\widehat C=\dfrac{CH}{CA}$

$↔\cos^2\widehat C=\dfrac{CH}{CA}.\dfrac{CA}{CB}=\dfrac{CH}{CB}$

d/ Xét tứ giác $AEHF$:

$\begin{cases}\widehat A=90^\circ(gt)\\\widehat{AEH}=90^\circ(E\,\,\text{là hình chiếu của điểm}\,\,H\,\,\text{trên}\,\,AB\\\widehat{AFH}=90^\circ(F\,\,\text{là hình chiếu của điểm}\,\,H\,\,\text{trên}\,\,AC\end{cases}$

$→AEHF$ là hình chữ nhật

$S_{AEHF}=AE.AF\\↔S_{AEHF}.BC=AE.AF.BC$

Áp dụng hệ thức lượng vào $ΔAHC$ vuông tại $H$ có đường cao $HF$:

$AH^2=AF.AC$

$→AH^3=AH^2.AH=AF.AC.AH$

Ta có: $\widehat{HAB},\widehat{BCA}$ cùng phụ $\widehat B$

$→\widehat{HAB}=\widehat{BCA}$

hay $\widehat{HAE}=\widehat{BCA}$

Xét $ΔHAE$ và $ΔBCA$:

$\widehat{HAE}=\widehat{BCA}(cmt)$

$\widehat{AEH}=\widehat{CAB}(=90^\circ)$

$→ΔHAE\backsim ΔBCA(g-g)$

$→\dfrac{AE}{AH}=\dfrac{CA}{CB}$

$↔AE.CB=CA.AH$

$↔AE.BC.AF=AC.AH.AF$

$↔S_{AEHF}.BC=AH^3$

$↔S_{AEHF}=\dfrac{AH^3}{BC}$