a/ Áp dụng định lý Pytago vào $ΔABC$ vuông tại $B$:
$→AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13cm$
Áp dụng hệ thức lượng vào $ΔABC$ vuông tại $B$ có đường cao $BH$:
$AB.BC=BH.AC$ hay $5.12=BH.13$
$↔60=BH.13\\↔\dfrac{60}{13}cm=BH$
b/ Áp dụng hệ thức lượng vào $ΔABC$ vuông tại $B$:
$BH^2=AH.CH$
Ta có: $\widehat{CAD},\widehat{CDH}$ cùng phụ $\widehat{ACK}$
$→\widehat{CAD}=\widehat{CDH}$ hay $\widehat{HAN}=\widehat{HKC}$
Xét $ΔHAN$ và $ΔHKC$:
$\widehat{HAN}=\widehat{HKC}(cmt)$
$\widehat{AHN}=\widehat{KHC}(=90^\circ)$
$→ΔHAN\backsim ΔHKC(g-g)$
$→\dfrac{AH}{HN}=\dfrac{KH}{HC}$
$↔AH.HC=HN.HK$
$↔BH^2=HN.HK$
c/ Xét $ΔABC$ vuông tại $B$:
$\cot\widehat{BAC}=\dfrac{BA}{BC}\\\cot \widehat{BCA}=\dfrac{BC}{BA}\\→\cot\widehat{BAC}+\cot\widehat{BCA}=\dfrac{BA}{BC}+\dfrac{BC}{BA}\\\quad\quad\quad\qquad\quad\quad\quad\quad\quad =\dfrac{BA^2+BC^2}{BA.BC}\\\quad\quad\quad\qquad\quad\quad\quad\quad\quad=\dfrac{AC^2}{AC.BH}\\\quad\quad\quad\qquad\quad\quad\quad\quad\quad=\dfrac{AC}{BH}$
