1) $y = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$

$+) \quad TXĐ: D = \Bbb R$

$+)$ Giới hạn tại vô cùng

$\mathop{\lim}\limits_{x \to +\infty}y = +\infty$

$\mathop{\lim}\limits_{x \to -\infty}y= -\infty$

$+)$ Chiều biến thiên:

$y' = 3x^2 - 6x + 3$

$y' = 0 \Leftrightarrow x^2 - 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \quad$ (nghiệm kép)

Bảng biến thiên:

$\begin{array}{|l|cr|}
\hline
x & -\infty & &  &  & 1  & &  & & +\infty\\
\hline
y' & &  & +& &   0   & &+&  &\\
\hline
&&&&&&&&&+\infty\\
& &&& & & &\nearrow\\
y&&&&&0\\
&&&\nearrow\\
&-\infty\\
\hline
\end{array}$

- Hàm số đồng biến trên $\Bbb R$

$+)$ Đồ thị

Đồ thị hàm số đi qua các điểm $(0;-1), (1;0), (2;1)$

$y'' = 6x - 6$

$y'' = 0 \Leftrightarrow x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1$

- Đồ thị có điểm uốn $U(1;0)$

$+)$ Vẽ đồ thị:

Hình đính kèm

Đồ thị nhận điểm uốn $U(1;0)$ làm tâm đối xứng

2) $y = x^4 - 2x^2 - 3$

$+) \quad TXĐ: D = \Bbb R$

$+)$ Giới hạn tại vô cùng

$\mathop{\lim}\limits_{x \to +\infty}y = +\infty$

$\mathop{\lim}\limits_{x \to -\infty}y = +\infty$

$+)$ Chiều biến thiên:

$y' = 4x^3 - 4x$

$y' = 0 \Leftrightarrow x^3 - x \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = 0\\x = -1\\x = 1\end{array}\right.$

Bảng biến thiên:

$\begin{array}{|l|cr|}
\hline
x & -\infty & & -1 & & & 0 & & & 1 & & +\infty\\
\hline
y' & & - & 0& & + & 0 & - & &0& + &\\
\hline
&+\infty&&&&&-3&&&&&+\infty\\
y & &\searrow& &&\nearrow & &\searrow& & &\nearrow\\
&&&-4&&&&&&-4\\
\hline
\end{array}$

- Hàm số đồng biến trên $(-1;0),(1;+\infty)$

- Hàm số nghịch biến trên $(-\infty;-1),(0;1)$

- Hàm số đạt cực đại tại $x= 0;\, y_{CĐ} = -3$

- Hầm số đạt cực tiểu tại $x=-1$ và $x=1;\,y_{CT} = -4$

$+)$ Đồ thị:

Đồ thị hàm số đi qua các điểm $(-2;5),(-1;-4),(0;-3),(1;0),(2;5)$

$+)$ Vẽ đồ thị:

Hình đính kèm

- Đồ thị nhận đường thẳng $x = 0$ làm trục đối xứng

3) $y= \dfrac{x-2}{x-1}$

$+) \quad TXĐ: D = \backslash\left\{1\right\}$

$+)$ Giới hạn và tiệm cận

$\mathop{\lim}\limits_{x \to \pm \infty}y = \mathop{\lim}\limits_{x \to \pm \infty}\dfrac{x-2}{x-1} = 1$

- Đồ thị nhận đường thẳng $y = 1$ làm tiệm cận ngang

$\mathop{\lim}\limits_{x \to 1^-}y = +\infty$

$\mathop{\lim}\limits_{x \to 1^+}y = -\infty$

- Đồ thị nhận đường thẳng $x = 1$ làm tiệm cận đứng

$+)$ Chiều biến thiên:

$y' = \dfrac{1}{(x-1)^2} > 0, \,\forall x \in D$

- Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định

Bảng biến thiên:

$\begin{array}{|l|cr|}
\hline
x & -\infty & &  & & & 1 & & &  & & +\infty\\
\hline
y' & &  & +& &  & || &  & &+&  &\\
\hline
&&&&&+\infty&||&&&&1&\\
y &  &&\nearrow & &&||& & &\nearrow\\
&&1&&&&||&-\infty&\\
\hline
\end{array}$

$+)$ Đồ thị

Đồ thị hàm số đi qua các điểm $\left(-1;-\dfrac{3}{2}\right)(0;2),(2;0),\left(3;\dfrac{1}{2}\right)$

$+)$ Vẽ đồ thị:

Hình đính kèm

- Đồ thị nhận giao điểm $I(1;1)$ của 2 đường tiệm cận làm tâm đối xứng

4) $y = \dfrac{3-x}{x+1}$

$+) \quad TXĐ: D = \Bbb R \backslash\left\{-1\right\}$

$+)$ Giới hạn và tiệm cận

$\mathop{\lim}\limits_{x \to \pm \infty}y = \mathop{\lim}\limits_{x \to \pm \infty}\dfrac{3-x}{x+1} = -1$

- Đồ thị nhận đường thẳng $y = -1$ làm tiệm cận ngang

$\mathop{\lim}\limits_{x \to -1^-}y = -\infty$

$\mathop{\lim}\limits_{x \to -1^+}y = +\infty$

- Đồ thị nhận đường thẳng $x = -1$ làm tiệm cận đứng

$+)$ Chiều biến thiên:

$y' = \dfrac{-4}{(x+1)^2} < 0, \,\forall x \in D$

- Hàm số luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định

Bảng biến thiên:

$\begin{array}{|l|cr|}
\hline
x & -\infty & &  & & & -1 & & &  & & +\infty\\
\hline
y' & &  & -& &  & || &  & &-&  &\\
\hline
&-1&&&&&||&+\infty&&&&\\
y &  &&\searrow & &&||& & &\searrow\\
&&&&&-\infty&||&&&&&-1\\
\hline
\end{array}$

$+)$ Đồ thị

Đồ thị hàm số đi qua các điểm $(-5;-2),(-3;-3),(-2;-5),(3;0),(1;1),(0;3)$

$+)$ Vẽ đồ thị:

Hình đính kèm

- Đồ thị nhận giao điểm $I(-1;-1)$ của 2 đường tiệm cận làm tâm đối xứng