Đáp án:
Giải thích các bước giải:
a)Vẽ đường cao $AD; OE$ theo thứ tự của $ΔABC; OBC$ thì:
$\frac{OA'}{AA'} = \frac{OE}{AD} = \frac{BC.OE}{BC.AD} = \frac{S(OBC)}{S(ABC)} (1)$
Tương tự $:\frac{OB'}{BB'} = \frac{S(OCA)}{S(ABC)} (2); \frac{OC'}{CC'} = \frac{S(OAB)}{S(ABC)} (3)$
$(1) + (2) + (3) : \frac{OA'}{AA'} + \frac{OB'}{BB'} + \frac{OC'}{CC'} $
$ = \frac{S(OAB) + S(OBC) + S(OCA)}{S(ABC)} = \frac{S(ABC)}{S(ABC)} = 1 (đpcm)$
b) $ \frac{OA}{AA'} + \frac{OB}{BB'} + \frac{OC}{CC'} = \frac{AA' - OA'}{AA'} + \frac{BB' - OB'}{BB'} + \frac{CC' - OC'}{CC'} $
$ = 3 - (\frac{OA'}{AA'} + \frac{OB'}{BB'} + \frac{OC'}{CC'}) = 3 - 1 = 2 (đpcm) $
c) Đặt $ x = \frac{AA'}{OA'}; y = \frac{BB'}{OB'}; z = \frac{CC'}{OC'}$
Theo câu a) $ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{OA'}{AA'} + \frac{OB'}{BB'} + \frac{OC'}{CC'} = 1$
Áp dụng $BĐT$ Cô si :
$ (x + y + z)(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}) ≥ (3\sqrt[3]{xyz}).(3\sqrt[3]{\frac{1}{x}.\frac{1}{y}.\frac{1}{z}}) = 9$
$ ⇔ x + y + z ≥ 9 ⇔\frac{AA'}{OA'} + \frac{BB'}{OB'} + \frac{CC'}{OC'} ≥ 9$
$ ⇔\frac{OA + OA'}{OA'} + \frac{OB + OB'}{OB'} + \frac{OC + OC'}{OC'} ≥ 9$
$ ⇒ M = \frac{OA}{OA'} + \frac{OB}{OB'} + \frac{OC}{OC'} ≥ 9 - 3 = 6$
Vậy $Min M = 6 ⇔$ xảy ra khi $ x = y = z = 3 $
$ ⇔\frac{AA'}{OA'} = \frac{BB'}{OB'} = \frac{CC'}{OC'} =3 ⇔ O$ là trọng tâm $ΔABC$
d) Theo câu a) $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1 ⇔ xy + yz + zx = xyz$
$ N = \frac{OA}{OA'}.\frac{OB}{OB'}.\frac{OC}{OC'} = \frac{AA' - OA'}{OA'}.\frac{BB' - OB'}{OB'}.\frac{CC' - OC'}{OC'}$
$ = (x - 1)(y - 1)(z - 1) = xyz - (xy + yz + zx) + (x + y + z) - 1$
$ = xyz - xyz + (x + y + z) - 1 = x + y + z - 1 ≥ 9 - 1 = 8$
Vậy $ MinN = 8 ⇔ x - 1 = y - 1 = z - 1 = 2$
$ ⇔ x = y = z = 3 ⇔ O$ là trọng tâm $ΔABC$
