Đáp án đúng: C
Phương pháp giải:
Tìm ĐKXĐ để hệ phương trình có nghĩa.
Đặt \(u = \dfrac{1}{{\sqrt x - 7}};\,\,v = \dfrac{1}{{\sqrt y + 6}}\,\,\left( {u,\,\,v \ne 0} \right)\).
+ Giải hệ theo ẩn phụ \(u,\,\,v\) đã đặt.
+ Trở lại ẩn \(x,\,\,y\) để tìm nghiệm của hệ.
+ Đối chiếu với điều kiện rồi kết luận.Giải chi tiết:ĐKXĐ \(x,\,\,y \ge 0\), \(x \ne 49\)
Đặt \(u = \dfrac{1}{{\sqrt x - 7}};\,\,v = \dfrac{1}{{\sqrt y + 6}}\,\,\left( {u,\,\,v \ne 0} \right)\).
Khi đó, ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}7u - 4v = \dfrac{5}{3}\\5u + 3v = 2\dfrac{1}{6}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}35u - 20v = \dfrac{{25}}{3}\\35u + 21v = \dfrac{{91}}{6}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}35u - 20v = \dfrac{{25}}{3}\\ - 41v = - \dfrac{{41}}{6}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}35u - 20v = \dfrac{{25}}{3}\\v = \dfrac{1}{6}\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}35u - 20.\dfrac{1}{6} = \dfrac{{25}}{3}\\v = \dfrac{1}{6}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = \dfrac{1}{3}\,\,\left( {tm} \right)\\v = \dfrac{1}{6}\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{\sqrt x - 7}} = \dfrac{1}{3}\\\dfrac{1}{{\sqrt y + 6}} = \dfrac{1}{6}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt x - 7 = 3\\\sqrt y + 6 = 6\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt x = 10\\\sqrt y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 100\,\,\,\left( {tm} \right)\\y = 0\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {100;\,\,0} \right)\).
Chọn C.
