Đáp án:

$\\$

`a,`

Xét `ΔAKD` và `ΔAHD` có :

`hat{AKD}=hat{AHD}=90^o` (gt)

`AD` chung

`hat{KAD}=hat{HAD}` (gt)

`-> ΔAKD = ΔAHD` (cạnh huyền - góc nhọn)

$\\$

`b,`

Do `ΔAKD = ΔAHD` (cmt)

`-> KD=HD` (2 cạnh tương ứng)

Xét `ΔKDB` và `ΔHDI` có :

`hat{KDB}=hat{HDI}` (2 góc đối đỉnh)

`KD=HD` (cmt)

`hat{BKD}=hat{IHD}=90^o` (gt)

`-> ΔKDB = ΔHDI` (góc - cạnh - góc)

`-> IH  = KB` (2 cạnh tương ứng)

$\\$

`c,`

Do `ΔAKD = ΔAHD` (cmt)

`-> AK=AH` (2 cạnh tương ứng)

`-> ΔAKH` cân tại `A`

`-> hat{AKH}=(180^o - hat{BAI})/2` `(1)`

Có : `AK+KB = AB`

Có : `AH+HI = AI`

mà `AK=AH` (cmt) và `KB=HI` (cmt)

`-> AB=AI`

`->ΔABI` cân tại `A`

`-> hat{ABI}=(180^o- hat{BAI})/2` `(2)`

Từ `(1), (2)`

`-> hat{AKH}=hat{ABI}`

mà 2 góc này ở vị trí đồng vị

$→ HK//IB$

$\\$

`d,`

Gọi `E` là giao của `CN` và `AD (E ∈AD)`

Có : `hat{CAE}+hat{DAB}=90^o` (Do `ΔABC` vuông tại `A`)

Có : `hat{CDE}+hat{DAH}=90^o` (Do `AH` là đường cao)

mà `hat{DAB}=hat{DAH}` (gt)

`-> hat{CAE}=hat{CDE}`

Có : `hat{CDE}+hat{DCE}+hat{CED}=180^o` (Định lí tổng 3 góc `Δ`)

Có : `hat{CAE}+hat{ACE}+hat{CEA}=180^o` (Định lí tổng 3 góc `Δ`)

mà `hat{CDE}=hat{CAE}` (cmt) và `hat{DCE}=hat{ACE}` (Do `CE` là tia phân giác của `hat{C}`)

`-> hat{CED}=hat{CEA}`

Xét `ΔCED` và `ΔCEA` có :

`EC` chung

`hat{CED}=hat{CEA}` (cmt)

`hat{DCE}=hat{ACE}` (cmt)

`-> ΔCED = ΔCEA` (góc - cạnh - góc)

`-> DC=AC` (2 cạnh tương ứng)

`-> ΔACD` cân tại `C`

mà `CE` là đường phân giác của `ΔACD` (gt)

`-> CE` là đường cao của `ΔACD`

Xét `ΔACD` có :

`AH` là đường cao (gt)

`CE` là đường cao (cmt)

`AH` cắt `CE` tại `N`

`-> N` là trực tâm của `ΔACD`