Đáp án:
\[\frac{{2\sqrt {57} }}{{19}}a\]
Giải thích các bước giải:
Qua A kẻ \(AK \bot CM\,\,\left( {K \in CM} \right)\)
Nối SK, kẻ \(AH \bot SK\,\,\,\left( {H \in SK} \right)\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot CM\\
AK \bot CM
\end{array} \right. \Rightarrow CM \bot \left( {SAK} \right)\\
\left. \begin{array}{l}
SH \subset \left( {SAK} \right) \Rightarrow CM \bot AH\\
AH \bot SK
\end{array} \right\} \Rightarrow AH \bot \left( {SCM} \right)
\end{array}\)
Do đó, khoảng cách từ A đến mp (SCM) là độ dài đoạn AH.
Ta có:
\(\begin{array}{l}
CM = \sqrt {B{M^2} + B{C^2}} = \sqrt {{a^2} + {{\left( {\sqrt 3 a} \right)}^2}} = 2a\\
AK = {d_{\left( {A,CM} \right)}} = {d_{\left( {B,CM} \right)}} = \frac{{BM.BC}}{{MC}} = \frac{{a.\sqrt 3 a}}{{2a}} = \frac{{\sqrt 3 a}}{2}\\
SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot AK\\
\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{S^2}}} + \frac{1}{{A{K^2}}} \Leftrightarrow \frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {2a} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{{\sqrt 3 a}}{2}} \right)}^2}}} \Rightarrow AH = \frac{{2\sqrt {57} }}{{19}}a
\end{array}\)
