Lưu ý: Có 1 số câu trong bài này không phải là luôn âm mà là luôn không dương với mọi gt x nha !!

Giải thích các bước giải:

1/ $-x^2-1=-(x^2+1)$

Vì $x^2 \geq 0$ nên $x^2+1 \geq 1$

Hay $-(x^2+1) \leq -1 < 0$

⇒ $\text{Biểu thức luôn âm với mọi giá trị x}$

2/ $-(x+1)^2$

Vì $(x+1)^2 \geq 0$

nên $-(x+1)^2 \leq 0$

⇒ $\text{Biểu thức không dương với mọi giá trị của x}$

3/ $-(x+1)^2-3$

Vì $-(x+1)^2 \leq 0$

nên $-(x+1)^2-3 \leq -3 < 0$

⇒ $\text{Biểu thức luôn âm với mọi giá trị x}$

4/ $-x^2-2x-1=-(x^2+2x+1)=-(x+1)^2$

Vì $(x+1)^2 \geq 0$

nên $-(x+1)^2 \leq 0$

⇒ $\text{Biểu thức không dương với mọi giá trị x}$

5/ $-x^2-2x-4=-x^2-2x-1-3=-(x^2+2x+1)-3=-(x+1)^2-3$

Vì $-(x+1)^2 \leq 0$

nên $-(x+1)^2-3 \leq -3 < 0$

⇒ $\text{Biểu thức luôn âm với mọi giá trị x}$

6/ Bài này đề sai nhé !!

7/ $-x^2-x-1=-x^2-x-\dfrac{1}{4}-\dfrac{3}{4}=-(x+\dfrac{1}{2})^2-\dfrac{3}{4}$

Vì $-(x+\dfrac{1}{2})^2 \leq 0$

nên $-(x+\dfrac{1}{2})^2-\dfrac{3}{4} \leq -\dfrac{3}{4} < 0$

⇒ $\text{Biểu thức luôn âm với mọi giá trị x}$

8/ $-2x^2+6x-8$

$=-2(x^2-3x+4)$

$=-2(x^2-2.\dfrac{3}{2}.x+\dfrac{9}{4}+\dfrac{7}{4})$

$=-2(x-\dfrac{3}{2})^2-\dfrac{7}{2}$

Vì $-2(x-\dfrac{3}{2})^2 \leq 0$

nên $-2(x-\dfrac{3}{2})^2-\dfrac{7}{2} \leq -\dfrac{7}{2} < 0$

⇒ $\text{Biểu thức luôn âm với mọi giá trị x}$

9/ $-2x^2-3x-4$

$=-2(x^2+\dfrac{3}{2}x+2)$

$=-2(x^2+2.\dfrac{3}{4}x+\dfrac{9}{16}+\dfrac{23}{16})$

$=-2(x+\dfrac{3}{4})^2-\dfrac{23}{8}$

Vì $-2(x+\dfrac{3}{4})^2 \leq 0$

nên $-2(x+\dfrac{3}{4})^2-\dfrac{23}{8} \leq -\dfrac{23}{8} < 0$

⇒ $\text{Biểu thức luôn âm với mọi giá trị x}$

10/ $-2x^2+2x-4$

$=-2(x^2-x+2)$

$=-2(x^2-2.\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{4}+\dfrac{7}{4}$

$=-2(x-\dfrac{1}{2})^2-\dfrac{7}{2}$

Vì $-2(x-\dfrac{1}{2})^2 \leq 0$

nên $-2(x-\dfrac{1}{2})^2-\dfrac{7}{2} \leq -\dfrac{7}{2} < 0$

⇒ $\text{Biểu thức luôn âm với mọi giá trị x}$

Chúc bạn học tốt !!!

Đáp án:

$\begin{array}{l}
1) - {x^2} - 1\\
Do:{x^2} \ge 0\forall x\\
 \Rightarrow  - {x^2} \le 0\\
 \Rightarrow  - {x^2} - 1 \le  - 1 < 0\\
Vay\, - {x^2} - 1 < 0\forall x\\
2) - {\left( {x + 1} \right)^2}\\
Do:{\left( {x + 1} \right)^2} \ge 0\forall x\\
 \Rightarrow  - {\left( {x + 1} \right)^2} \le 0\forall x\\
3) - {\left( {x + 1} \right)^2} - 3\\
Do:{\left( {x + 1} \right)^2} \ge 0\\
 \Rightarrow  - {\left( {x + 1} \right)^2} \le 0\\
 \Rightarrow  - {\left( {x + 1} \right)^2} - 3 \le  - 3 < 0\\
Vay\, - {\left( {x + 1} \right)^2} - 3 < 0\forall x\\
4) - {x^2} - 2x - 1\\
 =  - \left( {{x^2} + 2x + 1} \right)\\
 =  - {\left( {x + 1} \right)^2} \le 0\forall x\\
5) - {x^2} - 2x - 4\\
 =  - \left( {{x^2} + 2x + 4} \right)\\
 =  - \left( {{x^2} + 2x + 1 + 3} \right)\\
 =  - {\left( {x + 1} \right)^2} - 3 \le  - 3 < 0\forall x\\
6) - {x^2} - 4x - 1\\
 =  - \left( {{x^2} + 4x + 4} \right) + 4 - 1\\
 =  - {\left( {x + 2} \right)^2} + 3 \le 3\forall x\\
7) - {x^2} - x - 1\\
 =  - \left( {{x^2} + x + 1} \right)\\
 =  - \left( {{x^2} + 2.x.\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4}} \right)\\
 =  - {\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)^2} - \dfrac{3}{4} \le  - \dfrac{3}{4} < 0\forall x\\
8) - 2{x^2} + 6x - 8\\
 =  - 2\left( {{x^2} - 3x + 4} \right)\\
 =  - 2.\left( {{x^2} - 2.x.\dfrac{3}{2} + \dfrac{9}{4} + \dfrac{3}{4}} \right)\\
 =  - 2{\left( {x - \dfrac{3}{2}} \right)^2} - 2.\dfrac{3}{4}\\
 =  - 2{\left( {x - \dfrac{3}{2}} \right)^2} - \dfrac{3}{2} \le  - \dfrac{3}{2} < 0\forall x\\
9) - 2{x^2} - 3x - 4\\
 =  - 2\left( {{x^2} + \dfrac{3}{2}x + 2} \right)\\
 =  - 2.\left( {{x^2} + 2.x.\dfrac{3}{4} + \dfrac{9}{{16}} + \dfrac{{23}}{{16}}} \right)\\
 =  - 2{\left( {x + \dfrac{3}{4}} \right)^2} - \dfrac{{23}}{8} < 0\forall x\\
10) - 2{x^2} + 2x - 4\\
 =  - 2\left( {{x^2} - x + 2} \right)\\
 =  - 2.\left( {{x^2} - 2.x.\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{7}{4}} \right)\\
 =  - 2{\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)^2} - \dfrac{7}{2} < 0\forall x
\end{array}$