Đáp án:
$1)\quad y = \dfrac{xe^x + C_1}{x+1}$
$2)\quad y = \dfrac{1}{2}e^{-x} + C_1\cos x + C_2\sin x$
Giải thích các bước giải:
Câu 1:
$\quad y' + \dfrac{y}{x+1} = e^x\qquad (*)$
Nghiệm của phương trình thuần nhất tương ứng có dạng:
$\quad y = C.e^{\displaystyle\int -\dfrac{1}{x+1}dx}$
$\Leftrightarrow y = C.e^{-\ln(x+1)}$
$\Leftrightarrow y = \dfrac{C}{x+1}$
Do đó nghiệm tổng quát của $(*)$ có dạng:
$\quad y = \dfrac{C(x)}{x+1}$
$\Rightarrow y' = \dfrac{C'(x)}{x+1} - \dfrac{C(x)}{(x+1)^2}$
Thay vào $(*)$ ta được:
$\quad \dfrac{C'(x)}{x+1} - \dfrac{C(x)}{(x+1)^2} + \dfrac{1}{x+1}\cdot \dfrac{C(x)}{x+1} = e^x$
$\Leftrightarrow C'(x) = (x+1)e^x$
$\Leftrightarrow C(x) = xe^x + C_1$
Vậy nghiệm của $(*)$ là $y = \dfrac{xe^x + C_1}{x+1}$
Câu 2:
$\quad y'' + y = e^{-x}\qquad (**)$
Phương trình đặc trưng:
$\quad k^2 + 1 = 0$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}k = -i\\k = i\end{array}\right.$
Do đó phương trình có nghiệm tổng quát là:
$\quad y = C_1\cos x + C_2\sin x$
Ta có: $f(x) = e^{-x}$
Do $\gamma =- 1$ không là nghiệm của phương trình đặc trưng
nên nghiệm riêng của $(**)$ có dạng:
$\quad y = Be^{-x}$
$\Rightarrow y' = -B.e^{-x}$
$\Rightarrow y'' = Be^{-x}$
Thay vào $(**)$ ta được:
$\quad Be^{-x} + Be^{-x} = e^{-x}$
$\Leftrightarrow B = \dfrac12$
Do đó nghiệm riêng của $(**)$ là $y = \dfrac12e^{-x}$
Vậy phương trình có nghiệm là: $y = \dfrac{1}{2}e^{-x} + C_1\cos x + C_2\sin x$
