Đáp án:
$C.\ V = \dfrac{\sqrt7a^3}{4}$
Giải thích các bước giải:
Ta có:
$\widehat{ABD} = 60^\circ$
$\Rightarrow \triangle ABD$ đều cạnh $a$
$\Rightarrow S_{ABD} = \dfrac{a^2\sqrt3}{4}$
$\Rightarrow S_{ABCD} = \dfrac{a^2\sqrt3}{2}$
Gọi $H$ là trung điểm $AB$
$\Rightarrow HA = HB = \dfrac12AB = \dfrac a2$
Ta có: $SH\perp (ABCD)\quad (gt)$
$\Rightarrow \widehat{(SC;(ABCD))} = \widehat{SCH} = 60^\circ$
$\Rightarrow SH = CH.\tan60^\circ$
Mặt khác:
Gọi $O= AC\cap BD$
$\Rightarrow AO\perp BD$
$\Rightarrow AO = \dfrac{a\sqrt3}{2}$ (đường cao trong tam giác đều)
$\Rightarrow AC = a\sqrt3$
Xét $\triangle ABC$ có $CH$ là trung tuyến ứng với cạnh $AB$
Áp dụng công thức đường trung tuyến, ta được:
$\quad CH^2 = \dfrac{2(AC^2 + BC^2) - AB^2}{4}$
$\Leftrightarrow CH^2 = \dfrac{2(3a^2 + a^2) - a^2}{4}$
$\Leftrightarrow CH^2 = \dfrac{7a^2}{4}$
$\Rightarrow CH = \dfrac{a\sqrt7}{2}$
$\Rightarrow SH = \dfrac{a\sqrt{21}}{2}$
Khi đó:
$V_{S.ABCD} = \dfrac13S_{ABCD}.SH = \dfrac13\cdot \dfrac{a^2\sqrt3}{2}\cdot \dfrac{a\sqrt{21}}{2} = \dfrac{a^3\sqrt7}{4}$
