Đáp án:
$A. \dfrac{7a^3\sqrt{21}}{6}$
Giải thích các bước giải:
Gọi $H,M$ là trung điểm $AD,BC$
$\Rightarrow SH\perp AD$
$\Rightarrow SH\perp (ABCD)$
$\Rightarrow SH\perp BC$
mà $BC\perp HM$
$\Rightarrow BC\perp (SHM)$
Kẻ $HK\perp SM$
$\Rightarrow BC\perp HK$
$\Rightarrow HK\perp (SBC)$
$\Rightarrow HK=d(H;(SBC))$
Ta lại có: $AD//BC$
$\Rightarrow AD//(SBC)$
$\Rightarrow d(A;(SBC)) = d(H;(SBC)) = HK = a\sqrt3$
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta được:
$\dfrac{1}{HK^2} = \dfrac{1}{SH^2} + \dfrac{1}{HM^2}$
$\Leftrightarrow HK^2 = \dfrac{SH^2.HM^2}{SH^2 + HM^2}$
$\Leftrightarrow 3a^2 = \dfrac{\dfrac{3AD^2}{4}\cdot AD^2}{\dfrac{3AD^2}{4} + AD^2}$
$\Leftrightarrow 3a^2 = \dfrac{\dfrac{3AD^2}{4}}{\dfrac{7}{4}}$
$\Leftrightarrow 3a^2 = \dfrac{3AD^2}{7}$
$\Rightarrow AD = a\sqrt7$
$\Rightarrow SH = \dfrac{a\sqrt{21}}{2}$
$\Rightarrow V_{S.ABCD} = \dfrac{1}{3}S_{ABCD}.SH = \dfrac{1}{3}\cdot(a\sqrt7)^2\cdot\dfrac{a\sqrt{21}}{2} = \dfrac{7a^3\sqrt{21}}{6}$
