a. Vì `ΔABC` cân tại `A`
⇒ `AB` = `AC`
Xét `ΔABH` và `ΔACH` có :
`AB` = `AC` ( cmt )
`AH` chung
`HB` = `HC` ( vì `H` là trung điểm của `BC` )
⇒ `ΔABH` = `ΔACH` ( c . c . c )
b. Vì `ΔABH` = `ΔACH` ( cmt )
⇒ `∠AHB` + `∠AHC` = `180^o`
⇒ `∠AHB` = `∠AHC` = `90^o`
⇒ `AH` ⊥ `BC`
c. Ta có : `HB` = `HC` = `BC/2` = `2` `(cm)`
Xét `ΔAHB` vuông tai A , ta có :
`AB^2` = `AH^2` + `HB^2` ( áp dụng định lí Py-Ta-Go )
hay `6^2` = `AH^2` + `2^2`
⇒ `AH^2` = `6^2` - `2^2`
= `36` - `4`
= `32`
Vì `AH^2` = `32` ⇒ `AH` = `√32` ( cm )
d. Từ ( a ) ; ( b ) ⇒ `BH` = `CH`
Xét `ΔBIH` và `ΔCIH` có :
`BH` = `CH` ( cmt )
`IH` chung
`∠BIH` = `∠CIH` ( vì cùng bằng `90^o` )
⇒ `ΔBIH` = `ΔCIH` ( ch - gn )
→ `IB` = `IC` ( 2 cạnh tương ứng )
→ ΔIBC cân tại I
e. Vì `ΔBIH` = `ΔCIH` ( cmt )
⇒ `∠BIH` = `∠CIH` = `∠AIM` = `∠AIN`
mà `NM` // `BC` nên `IH` ⊥ `BC`
thì `IA` ⊥ `NM`
hay `∠IAM` = `∠IAN`
Xét `ΔNAI` và `ΔMAI` có :
`∠AIM` = `∠AIN` ( cmt )
`AI` chung
`∠IAM` = `∠IAN` ( cmt )
⇒ `ΔNAI` = `ΔMAI` ( g . c . g )
→ `AN` = `AM` ( 2 cạnh tương ứng )
mà `A` ; `M` ; `N` thẳng hàng
nên `A` là trung điểm của `MN`
f . Xét `ΔBHI` và `ΔBEI` có :
`B^1` = `B^2`
`BI` chung
`∠BEI` = `∠BHI` ( cùng bằng `90^o` )
⇒ `ΔBHI` = `ΔBEI` ( ch - gn )
→ `IE` = `IH`
Tương tự : `IH` = `IF`
→ `IH` = `IF` = `IE`
g. Ta có : `MN` // `BC`
⇒ `∠AMC` + `∠HMC` = `180^o`
mà `∠AMC` = `∠ACM`
`∠HCM` = `∠HCI` + `∠ICF` = `2` . `∠ICF`
Do đó : `2` . `∠ACM` + `2` . `∠ICF` = `180^o`
⇒ `∠ACM` = `∠ICF` = `180^o/2`
⇒ `∠ICM` = `90^o`
Vậy `IC` ⊥ `MC`
