Lời giải:
Dễ dàng chứng minh được $ACA'C'$ là tứ giác nội tiếp
$\Rightarrow \widehat{CAC'}= \widehat{BA'C'}$
hay $\widehat{BAC}= \widehat{BA'C'}$
Kẻ tia $Bd$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $B$ ($Bd$ khác phía $O$ so với bờ $BC$)
$\Rightarrow OB\perp Bd$
Ta có:
$\widehat{CBd}=\widehat{BAC}$ (cùng chắn $\mathop{BC}\limits^{\displaystyle\frown}$)
mà $\widehat{BAC}= \widehat{BA'C'}\quad (cmt)$
nên $\widehat{CBd}= \widehat{BA'C'}$
$\Rightarrow A'C'//Bd$
$\Rightarrow OB\perp A'C'$
$\Rightarrow \widehat{CC'A'}=\widehat{C'BM} = \widehat{ABM}$ (cùng phụ $\widehat{A'C'B}$)
Ta lại có:
$\widehat{ABM}=\widehat{ACM}$ (cùng chắn $\mathop{AM}\limits^{\displaystyle\frown}$)
$\widehat{CC'A'}=\widehat{CAA'}= \widehat{CAH}$ ($ACA'C'$ nội tiếp)
Do đó:
$\widehat{ACM}=\widehat{CAH}$
$\Rightarrow CM//AH\qquad (1($
Hoàn toàn tương tự, ta có:
$\widehat{AA'C'}=\widehat{CBM}$ (cùng phụ $\widehat{BA'C'}$)
$\widehat{AA'C'}=\widehat{ACH}$ ($ACA'C'$ nội tiếp)
$\widehat{CBM}=\widehat{CAM}$ (cùng chắn $\mathop{CM}\limits^{\displaystyle\frown}$)
$\Rightarrow \widehat{ACH}=\widehat{CAM}$
$\Rightarrow AM//CH\qquad (2)$
Từ $(1)(2)\Rightarrow AHCM $ là hình bình hành
$\Rightarrow AH = CM$
