Đáp án:
`(∆): (5+\sqrt{153})x +8y-14-6\sqrt{153}=0`
Hoặc:
`(∆): (5-\sqrt{153})x +8y-14+6\sqrt{153}=0`
Giải thích các bước giải:
`\qquad (C):x^2 +y^2-2x+2y-15=0`
`<=>(x-1)^2+(y+1)^2=17`
`=>` Tâm `I(1;-1)`; bán kính `R=\sqrt{17}`
`\qquad M(6;-2)`
`=>\vec{IM}=(6-1;-2+1)=(5;-1)`
`=>IM=\sqrt{5^2+(-1)^2}=\sqrt{26}>\sqrt{17}`
`=>M` nằm ngoài đường tròn
Gọi `(∆)` là tiếp tuyến của đường tròn và đi qua `M(6;-2)`
`=>(∆): a(x-6)+b(y+2)=0` `(a^2+b^2\ne 0)`
`=>(∆)ax+by-6a+2b=0`
Vì `(∆)` là tiếp tuyến của đường tròn nên:
`\qquad d(I;(∆))=R`
`<=>|a.1+b.(-1)-6a+2b|/{\sqrt{a^2+b^2}}=\sqrt{17}`
`<=>|-5a+b|=\sqrt{17(a^2+b^2)}`
`<=>(-5a+b)^2=17(a^2+b^2)`
`<=>25a^2-10ab+b^2=17a^2+17b^2`
`<=>8a^2-16b^2-10ab=0`
`<=>4a^2-8b^2-5ab=0`
`<=>(2a)^2-2.2a. 5/ 4 b +{25}/{16} b^2={153}/ {16}b^2`
`<=>(2a-5/4b)^2=(\sqrt{153}/4b)^2`
`<=>`$\left[\begin{array}{l}2a-\dfrac{5}{4}b=\dfrac{\sqrt{153}b}{4}\ (1)\\2a-\dfrac{5}{4}b=-\dfrac{\sqrt{153}b}{4}\ (2)\end{array}\right.$
+) `(1)<=>a={(5 +\sqrt{153})b}/8`
Chọn `b=8=>a=5+\sqrt{153}`
`=>(∆)ax+by-6a+2b=0`
`<=>(∆): (5+\sqrt{153})x +8y-6.(5+\sqrt{153})+2.8=0`
`<=>(∆): (5+\sqrt{153})x +8y-14- 6\sqrt{153}=0`
$\\$
+) `(2)<=>a={(5 -\sqrt{153})b}/8`
Chọn `b=8=>a=5-\sqrt{153}`
`=>(∆)ax+by-6a+2b=0`
`<=>(∆): (5-\sqrt{153})x +8y-6.(5-\sqrt{153})+2.8=0`
`<=>(∆): (5+\sqrt{153}) x +8y-14+6\sqrt{153}=0`
Vậy có hai tiếp tuyến thỏa đề bài:
`(∆): (5+\sqrt{153})x +8y-14-6\sqrt{153}=0`
Hoặc:
`(∆): (5-\sqrt{153})x +8y-14+6\sqrt{153}=0`
