Đáp án:
$\\$
`a,`
Xét `ΔABM` và `ΔACM` có :
`AM` chung
`AB=AC` (Do `ΔABC` cân tại `A`)
`AM` chung
`-> ΔABM = ΔACM` (cạnh - góc - cạnh)
$\\$
`b,`
Xét `ΔAIM` và `ΔCIE` có :
`hat{AIM}=hat{CIE}` (2 góc đối đỉnh)
`IM=IE` (gt)
`AI=CI` (Do `I` là trung điểm của `AC`)
`-> ΔAIM = ΔCIE` (cạnh - góc - cạnh0
`-> AM = EC` (2 cạnh tương ứng)
$\\$
`c,`
Xét `ΔABC` cân tại `A` có :
`AM` là đường phân giác
`-> AM` là đường cao
`-> AM⊥BC`
Do `ΔAIM = ΔCIE` (cmt)
`-> hat{MAI}=hat{ECI}` (2 góc tương ứng)
mà 2 góc này ở vị trí so le trong
$→ AM//EC$
Có :$\begin{cases} AM//EC\\AM⊥BC\end{cases}$ (cmt)
$→ EC⊥BC$
Xét `ΔAMC` và `ΔECM` có :
`hat{AMC}=hat{ECM}=90^o` (Do `AM⊥BC, EC⊥BC`)
`MC` chung
`AM=EC` (cmt)
`-> ΔAMC = ΔECM` (cạnh - góc - cạnh)
`-> EM = AC` (2 cạnh tương ứng)
Có : $AM//EC$ (cmt)
hay $AM//EK$
`-> hat{AMC}=hat{KCM}` (2 góc so le trong)
Do $MK//AC$
`-> hat{CMK} = hat{MCA}` (2 góc so le trong)
Xét `ΔAMC` và `ΔKCM` có :
`hat{AMC}=hat{KCM}` (cmt)
`MC` chung
`hat{CMK}=hat{MCA}` (cmt)
`-> ΔAMC = ΔKCM` (góc - cạnh - góc)
`-> MK = AC` (2 cạnh tương ứng)
mà `EM =AC` (cmt)
`-> MK =EM (=AC)`
Xét `ΔECM` và `ΔKCM` có :
`hat{ECM}=hat{KCM}=90^o` (DO `EC⊥BC`)
`MC` chung
`EM=MK` (cmt)
`-> ΔECM = ΔKCM` (cạnh huyền - cạnh góc vuông)
`-> hat{CME}=hat{CMK}` (2 góc tương ứng)
hay `CM` là tia phân giác của `hat{EMC}`
$\\$
`d,`
Có : `IM=IE` (gt)
`-> I` là trung điểm của `ME`
`-> KI` là đường trung tuyến của `ΔMKE`
Do `ΔECM = ΔKCM` (cmt)
`-> EC = KC` (2 cạnh tương ứng)
`-> C` là trung điểm của `EK`
`-> MC` là đường trung tuyến của `ΔMKE`
Xét `ΔMKE` có :
`KI` là đường trung tuyến (cmt)
`MC` là đường trung tuyến (cmt)
`KI` cắt `MC` tại `H`
`-> H` là trọng tâm của `ΔMKE`
mà `EH` cắt `MK` tại `F`
`-> EF` là đường trung tuyến của `ΔMKE`
`-> F` là trung điểm của `MK`
mà `I` là trung điểm của `ME` (cmt)
`-> MF = 1/2 MK, MI = 1/2 ME`
mà `MK = ME` (cmt)
`-> MF = MI`
Xét `ΔAMC` vuông tại `M (AM⊥BC`) có :
`MI` là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền `AC`
`-> MI = 1/2 AC`
mà `AI = 1/2 AC` (Do `I` là trung điểm của `AC`)
`-> MI = AI (=1/2 AC)`
mà `MF = MI` (cmt)
`-> AI =MF (=MI)`
Áp dụng BĐT `Δ` cho `ΔAIM` có :
`AI + MI > AM`
mà `AI = MF` (cmt) và `AM=3cm` (gt)
`-> MF + MI > 3cm`
Do $MK//AC$ (gt)
`-> hat{AIM}=hat{FMI}` (2 góc so le trong)
Xét `ΔAIM` và `ΔFMI` có :
`hat{AIM}=hat{FMI}` (cmt)
`MI` chung
`AI=FM` (cmt)
`-> ΔAIM = ΔFMI` (cạnh - góc - cạnh)
`-> AM = IF` (2 cạnh tương ứng)
mà `AM=3cm` (gt)
`-> IF = 3cm`
Có : `P_{ΔMIF} = MI + MF + IF`
mà `MI + MF > 3cm` (cmt) và `IF = 3cm`
`-> MI + MF + IF > 3cm+3cm`
`-> MI + MF + IF > 6cm`
`-> P_{ΔMIF} > 6cm`
