Xét pt $x^2-2.(m+1).x + 4m-m^2 = 0 $
Có $Δ' = [-(m+1)]^2 - (4m-m^2).1$
$ = m^2+2m+1+m^2-4m$
$ = 2m^2 -2m + 1$
$= (m-1)^2 + m^2 > 0∀ m$
Do đó pt đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$
Theo hệ thức Vi - et ta có :
$\left\{ \begin{array}{l}x_{1}+x_{2} = 2(m+1)\\x_{1}.x_{2} = 4m-m^2\end{array} \right.$
Ta có : $A^2 = (x_{1}-x_{2})^2$
$ = (x_{1}+x_{2})^2 - 4x_{1}x_{2}$
$ = 4.(m+1)^2 - 4.(4m-m^2)$
$ = 4m^2+8m +4 - 16m + 4m^2$
$ = 8m^2 - 8m + 4$
$ = 8.\bigg(m-\dfrac{1}{2}\bigg)^2 + 2 ≥ 2$
$⇒ A ≥ \sqrt[]{2}$
Dấu "=" xảy ra $⇔m=\dfrac{1}{2}$
Vậy Min $A = \sqrt[]{2}$ khi $m=\dfrac{1}{2}$
